法一:
(Ⅰ)证明:∵平面∥平面 ∴∥∵∴ 又∵平面平面,平面平面 ∴平面∴ 又∵ ∴为与的公垂线。 (Ⅱ)过作于, ∵为正三角形, ∴为中点, ∵平面 ∴ 又∵ ∴平面 ∴线段的长即为到平面的距离 在等边三角形中, ∴点到平面的距离为。 (Ⅲ)过作于,连结 由三垂线定理知 ∴是二面角的平面角 在中,,~, ∴,∴ 所以,二面角的大小为。 法二:取中点,连结,易知平面, 过作直线∥交于 取为空间直角坐标系的原点,、、所在直线分别为如图建立空间直角坐标系,则
(Ⅰ) ∴ ∴,∴, 又∵∥,由已知,∥ ∴, 即为与的公垂线。 (Ⅱ)设是平面的一个法向量,又, 则,即,令,则 ∴设所求距离为, ∴点到平面的距离为。 (Ⅲ)设平面的一个法向量为,又 则则令,则 即,设二面角为,
又二面角为锐角 二面角的大小为。 |