如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝a，BC＝a，M是AD的中点。(Ⅰ)求证：AD∥平面A1BC；(Ⅱ)求证：平面A1MC⊥平面A1

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如图，在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，已知AB＝AA₁＝a，BC＝a，M是AD的中点。
(Ⅰ)求证：AD∥平面A₁BC；
(Ⅱ)求证：平面A₁MC⊥平面A₁BD₁；
(Ⅲ)求点A到平面A₁MC的距离。

答案

(Ⅰ)证明略 (Ⅱ)证明略 (Ⅲ)A点到平面A₁MC的距离为

解析

以D点为原点,分别以DA,DC,DD₁为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz如图所示.
,,设平面A₁BC的法向量为
又,,,即AD//平面A₁BC.
,,设平面A₁MC的法向量为:,
又,,设平面A₁BD₁的法向量为:,
,,即平面A₁MC平面A₁BD₁.
设点A到平面A₁MC的距离为d,
是平面A₁MC的法向量,
又,A点到平面A₁MC的距离为:.