解法一: (I)由已知
∴PG=4 如图所示,以G点为原点建立空间直角坐标系 o—xyz,则 B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,4) 故E(1,1,0)
∴异面直线GE与PC所成的角为arccos (II)平面PBG的单位法向量
∴点D到平面PBG的距离为 (III)设F(0,y , z)
在平面PGC内过F点作FM⊥GC,M为垂足,则 解法二: (I)由已知 ∴PG=4 在平面ABCD内,过C点作CH//EG交AD于H,连结PH,则∠PCH(或其补角)就是异面直线GE与PC所成的角. 在△PCH中, 由余弦定理得,cos∠PCH=,∴异面直线GE与PC所成的角为arccos (II)∵PG⊥平面ABCD,PG平面PBG ∴平面PBG⊥平面ABCD 在平面ABCD内,过D作DK⊥BG,交BG延长线于K, 则DK⊥平面PBG ∴DK的长就是点D到平面PBG的距离
在△DKG,DK=DGsin45°= ∴点D到平面PBG的距离为 (III)在平面ABCD内,过D作DM⊥GC,M为垂足,连结MF,又因为DF⊥GC ∴GC⊥平面MFD,∴GC⊥FM 由平面PGC⊥平面ABCD,∴FM⊥平面ABCD ∴FM//PG 由GM⊥MD得:GM=GD·cos45°=
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