如图所示，在四棱锥P－ABCD中，△PBC为正三角形，PA⊥底面ABCD，其三视图如图所示，俯视图是直角梯形． (1)求正视图的面积；(2)求四棱锥P－ABCD

题型：不详难度：来源：

如图所示，在四棱锥P－ABCD中，△PBC为正三角形，PA⊥底面ABCD，其三视图如图所示，俯视图是直角梯形．
 
(1)求正视图的面积；
(2)求四棱锥P－ABCD的体积．

答案

（1）（2）

解析

(1)如图所示，过A作AE∥CD交BC于E，联结PE.根据三视图可知，E是BC的中点，

且BE＝CE＝1，AE＝CD＝1，
又∵△PBC为正三角形，
∴BC＝PB＝PC＝2，且PE⊥BC.
∴PE²＝PC²－CE²＝3.
∵PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，∴PA⊥AE，
∴PA²＝PE²－AE²＝2，即PA＝，
∴正视图的面积为S＝×2×＝.
(2)由(1)可知，四棱锥P－ABCD的高PA＝，
底面积为S＝·CD＝×1＝
∴四棱锥P－ABCD的体积V_{四棱锥P－ABCD}＝S·PA＝××＝.