试题分析:(1)连接交于点,取的中点,连接、,先证明,再利用中位线证明,利用传递性证明,进而证明四边形为平行四边形,进而得到,最后利用直线与平面平行的判定定理证明平面;(2)证法一是取的中点,先证明四边形为平行四边形得到,然后通过勾股定理证明从而得到,然后结合四边形为正方形得到,最后利用直线与平面垂直的判定定理证明平面;证法二是连接交于点,先利用勾股定理证明,利用得到,再利用等腰三角形中三线合一得到,利用直线与平面垂直的判定定理证明平面,进而得到,然后结合四边形为正方形得到,最后利用直线与平面垂直的判定定理证明平面;(3)将五面体分割为四棱锥与三棱锥,利用(2)中的结论平面得到平面从而计算三棱锥的体积,利用结论平面以及得到平面以此计算四棱锥的体积,最终将两个锥体的体积相加得到五面体的体积. 试题解析:(1)连接,与相交于点,则是的中点,连接、,
是的中点, ,, 平面,平面,平面平面,, ,,,四边形为平行四边形, ,, 平面,平面,平面; (2)证法1:取的中点,连接,则,
由(1)知,,且,四边形为平行四边形, ,, 在中,,又,得,, 在中,,,, ,,,即, 四边形是正方形,, ,平面,平面,平面; 证法2:在中,为的中点,. 在中,,, ,, ,, ,平面,平面,,平面, 平面,. 四边形是正方形,. 平面,平面,,平面.
(3)连接, 在中,,. 由(2)知平面,且,平面. 平面,,平面. 四棱锥的体积为. 三棱锥的体积为. 五面体的体积为. |