如图，P是正方形ABCD所在平面外一点，PA⊥AB，PA⊥AD，点Q是PA的中点，PA=4，AB=2．（1）求证：PC⊥BD；（2）求点Q到BD的距离．

题型：不详难度：来源：

 如图，P是正方形ABCD所在平面外一点，PA⊥AB，PA⊥AD，点Q是PA的中点，PA=4，AB=2．
（1）求证：PC⊥BD；
（2）求点Q到BD的距离．

答案

（1）连接AC
∵PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD=A
∴PA⊥平面ABCD
∴AC为斜线PC在平面ABCD内的射影
∵ABCD是正方形
∴AC⊥BD（4分）
∴PC⊥BD（6分）
（2）设AC∩BD=O，连接OQ
∵Q为PA中点，O为AC中点
∴OQ∥PC
∵PC⊥BD
∴OQ⊥BD
∴OQ的长就是点Q到BD的距离（9分）
∵AB=2，PA=4
∴AC=2

2

∴OA=

2

，QA=2
∴OQ=

QA2+OA2

=

6

即点Q到BD的距离为

6

（12分）