已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形,又PD⊥底ABCD,且PD=CD,点M、N分别是棱AD、PC的中点.(1)证明:DN∥平面P

已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形,又PD⊥底ABCD,且PD=CD,点M、N分别是棱AD、PC的中点.(1)证明:DN∥平面P

题型:不详难度:来源:
已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形,又PD⊥底ABCD,且PD=CD,点M、N分别是棱AD、PC的中点.
(1)证明:DN平面PMB;
(2)证明:平面PMB⊥平面PAD;
(3)求点A到平面PMB的距离.
答案
(1)证明:取PB中点Q,连接MQ、NQ,
因为M、N分别是棱AD、PC中点,
所以QNBCMD,且QN=MD,于是DNMQ.
DNMQ
MQ⊆平面PMB
DN⊄平面PMB





⇒DN平面PMB.

(2)
PD⊥平面ABCD
MB⊆平面ABCD





⇒PD⊥MB
又因为底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形,且M为AD中点,
所以MB⊥AD.
又AD∩PD=D,
所以MB⊥平面PAD.
MB⊥平面PAD
MB⊆平面PMB





⇒平面PMB⊥平面PAD.

(3)因为M是AD中点,所以点A与D到平面PMB等距离.
过点D作DH⊥PM于H,由(2)平面PMB⊥平面PAD,所以DH⊥平面PMB.
故DH是点D到平面PMB的距离.DH=
a
2
×a


5
2
a
=


5
5
a

∴点A到平面PMB的距离为


5
5
a

举一反三
如图,在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是CC1,C1D1,D1D,CD的中点,N是BC的中点,M在四边形EFGH上及其内部运动,若MN平面A1BD,则点M轨迹的长度是______.
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如图:E、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD的中点,平面α过EH分别交BC、CD于F、G.
求证:EHFG.
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空间四边形ABCD的对棱AD,BC成60°的角,且AD=BC=a,平行于AD与BC的截面分别交AB,AC,CD,BD于E、F、G、H.
(1)求证:四边形EFGH为平行四边形;
(2)E在AB的何处时截面EFGH的面积最大?最大面积是多少?
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如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=2,E是侧棱PA上的动点.
(I)求四棱锥P-ABCD的体积;
(Ⅱ)如果E是PA的中点,求证:PC平面BDE;
(Ⅲ)探究:不论点E在侧棱PA的任何位置,BD⊥CE是否都成立?若成立,证明你的结论;若不成立,请说明理由.
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如图,已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,AB=5,cos∠CAB=
3
5
,AA1=4,点D是AB的中点.
(1)求证:AC⊥BC1
(2)求证:AC1平面CDB1
(3)求三棱锥A1-B1CD的体积.
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