已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PD，∠BAD=60°，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．（1）求证：AD⊥平面PBE；（2）若Q是PC的中

题型：德州一模难度：来源：

已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PD，∠BAD=60°，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．
（1）求证：AD⊥平面PBE；
（2）若Q是PC的中点，求证PA∥平面BDQ；
（3）若V_P-BCDE=3V_Q-ABCD，试求

CP

CQ

的值．

答案

（1）由E是AD的中点，PA=PD，所以AD⊥PE，
又底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，
所以AB=BD，又E是AD的中点，所以AD⊥BE，
又PE∩BE=E，所以AD⊥平面PBE．
（2）连结AC交BD于O，连OQ
因为O是AC的中点，Q是PC的中点，
所以OQ∥PA．又PA⊈面BDQ，OQ⊂BDQ，
所以PA∥平面BDQ．
（3）设四棱锥P-BCDE，Q-ABCD的高分别为h₁，h₂，
所以VP-BCDE=

1

3

S△BCDEh1，VQ-ABCD=

1

3

SABCDh2，
因为V_P-BCDE=3V_Q-ABCD，且底面积SBCDE=

3

4

SABCD，
所以

CP

CQ

=

h1

h2

=4．