如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AB=BC=1,PA⊥平面ABCD,CD⊥PC.(Ⅰ)证明:CD⊥平面PAC;(Ⅱ)若E为AD的中点,求证:CE
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如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AB=BC=1,PA⊥平面ABCD,CD⊥PC. (Ⅰ)证明:CD⊥平面PAC; (Ⅱ)若E为AD的中点,求证:CE∥平面PAB. |
答案
(Ⅰ)证明:∵PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD ∴CD⊥PA…(2分) 又∵CD⊥PC…(3分) 而PC∩PA=P…(4分) 所以,CD⊥面PAC…(5分) (Ⅱ)∵AB⊥BC,AB=BC=1 ∴∠BAC=45°∴∠CAD=45°…(6分) 又由(Ⅰ)CD⊥面PAC ∴CD⊥AC ∴△ACD为等腰直角三角形 …(7分) 又E为AD中点∴CE⊥AD…(8分) 又∵BC∥AD∴CE⊥BC 所以,∴CE∥AB…(9分) 而AB?面PAB,CE?面PAB 所以CE∥面PAB…(10分) |
举一反三
P是平行四边形ABCD所在平面外一点,E为PB的中点,O为AC,BD的交点. (1)求证:EO‖平面PCD; (2)图中EO还与哪个平面平行? |
已知四边形ABCD是等腰梯形,AB=3,DC=1,∠BAD=45°,DE⊥AB(如图1).现将△ADE沿DE折起,使得AE⊥EB(如图2),连接AC,AB,设M是AB的中点. (1)求证:BC⊥平面AEC; (2)判断直线EM是否平行于平面ACD,并说明理由. |
如图,AB是圆O的直径,PA⊥圆O所在的平面,C是圆O上的点. (1)求证:BC⊥平面PAC; (2)若Q为PA的中点,G为△AOC的重心,求证:QG∥平面PBC. |
如图,矩形ABCD所在的平面与正方形ADPQ所在的平面相互垂直,E是QD的中点 (I)求证:QB∥平面AEC; (Ⅱ)求证:平面QDC⊥平面AEC. |
如图,在五面体ABCDEF中,点O是矩形ABCD的对角线的交点,面CDE是等边三角形,棱EFBC. (I)证明FO∥平面CDE; (II)设BC=CD,证明EO⊥平面CDF. |
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