如图，四棱锥的底面是矩形，，，且侧面PAB是正三角形，平面平面ABCD，E是棱PA的中点。（1）求证：平面EBD；（2）求三棱锥的体积。

题型：模拟题难度：来源：

如图，四棱锥的底面是矩形，，，且侧面PAB是正三角形，平面平面ABCD，E是棱PA的中点。
（1）求证：平面EBD；
（2）求三棱锥的体积。

答案

解：（1）证明：在矩形ABCD 中，连结AC ，设AC 、BD 交点为O ，则O是AC中点
又E是PA中点，所以EO是△PAC 的中位线，
所以PC//EO 
又EO平面EBD ，PC平面EBD
所以PC// 平面EBD
（2）  取AB中点H，则由PA=PB ，得PH ⊥AB ，
又平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB ∩平面ABCD=AB ，
所以PH ⊥平面ABCD 
取AH 中点F ，由E 是PA 中点，得EF//PH ，
所以EF⊥平面ABCD
∵，
由题意可求得：=，PH=，EF=，     
。