如图四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠ACB=90°,PA⊥平面ABCD,F是BC的中点.(1)求证:DA⊥平面PAC;(2)试在线段PD上确定

如图四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠ACB=90°,PA⊥平面ABCD,F是BC的中点.(1)求证:DA⊥平面PAC;(2)试在线段PD上确定

题型:不详难度:来源:
如图四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠ACB=90°,PA⊥平面ABCD,F是BC的中点.
(1)求证:DA⊥平面PAC;
(2)试在线段PD上确定一点G,使CG平面PAF,并说明理由.
答案
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BCAD,
∴∠ACB=∠DAC=90°,∴DA⊥AC.
∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥DA,又AC⊥DA,AC∩PA=A,
∴DA⊥平面PAC.
(Ⅱ)设PD的中点为G,在平面PAD内作GH⊥PA于H,则GH
.
1
2
AD

连接FH,则四边形FCGH为平行四边形,
∴GCFH,
∵FH⊂平面PAE,CG⊄平面PAE,
∴CG平面PAE,
∴G为PD中点时,CG平面PAE.
举一反三
已知四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,AD=CD=


6
,∠BAC=60°,E为AC的中点;现将△ACD沿对角线AC折起,使点D在平面ABC上的射影H落在BC上.
(1)求证:AB⊥平面BCD;
(2)求三棱锥D-ABE的体积.
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在直角梯形ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BE⊥平面ABCD,AB=BC=BE=2AD=2.
(Ⅰ)求异面直线DE与AC所成角的大小;
(Ⅱ)在线段CE上是否存在点F,使平面BDF⊥平面ADE,若存在,确定点F的位置,若不存在,请说明理由.
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如图:直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=AA1=2,∠ACB=90°.E为BB1的中点,D点在AB上且DE=


3

(Ⅰ)求证:CD⊥平面A1ABB1
(Ⅱ)求三棱锥A1-CDE的体积.
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如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形,其中BA⊥AD,CD⊥AD,CD=AD=2AB,PA⊥底面ABCD,E是PC的中点.
(1)求证:BE平面PAD;
(2)若AP=2AB,求证:BE⊥CD.
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如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为等边三角形,侧棱AA1⊥平面ABC,AB=2,AA1=2


3
,D、E分别为AA1、BC1的中点.
(Ⅰ)求证:DE⊥平面BB1C1C;
(Ⅱ)求三棱锥C-BC1D的体积.
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