如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4.E,F分别在线段BC和AD上,EF∥AB,将矩形ABEF沿EF折起.记折起后的矩形为MNEF,且平面MNEF⊥平面EC

如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4.E,F分别在线段BC和AD上,EF∥AB,将矩形ABEF沿EF折起.记折起后的矩形为MNEF,且平面MNEF⊥平面EC

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如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4.E,F分别在线段BC和AD上,EFAB,将矩形ABEF沿EF折起.记折起后的矩形为MNEF,且平面MNEF⊥平面ECDF.

(Ⅰ)求证:NC平面MFD;
(Ⅱ)若EC=3,求证:ND⊥FC;
(Ⅲ)求四面体NFEC体积的最大值.
答案
(Ⅰ)证明:因为四边形MNEF,EFDC都是矩形,
所以MNEFCD,MN=EF=CD.
所以四边形MNCD是平行四边形,…(2分)
所以NCMD,…(3分)
因为NC⊄平面MFD,所以NC平面MFD.…(4分)
(Ⅱ)证明:连接ED,设ED∩FC=O.
因为平面MNEF⊥平面ECDF,且NE⊥EF,
所以NE⊥平面ECDF,…(5分)
因为FC⊂平面ECDF,
所以FC⊥NE.…(6分)
又EC=CD,所以四边形ECDF为正方形,所以FC⊥ED.…(7分)
所以FC⊥平面NED,…(8分)
因为ND⊂平面NED,
所以ND⊥FC.…(9分)
(Ⅲ)设NE=x,则EC=4-x,其中0<x<4.
由(Ⅰ)得NE⊥平面FEC,所以四面体NFEC的体积为VNFEC=
1
3
S△EFC•NE=
1
2
x(4-x)
.…(11分)
所以VNFEC
1
2
[
x+(4-x)
2
]2=2
.…(13分)
当且仅当x=4-x,即x=2时,四面体NFEC的体积最大.…(14分)
举一反三
如图,直三棱柱ABC-A1B1C1,底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M、N分别为A1B1、A1A的中点.
(Ⅰ)求cos<


BA1


CB1
>的值;
(Ⅱ)求证:BN⊥平面C1MN;
(Ⅲ)求点B1到平面C1MN的距离.
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四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,且∠BAD=60°,侧面PAD是正三角形,其所在的平面垂直于底面ABCD,点G为AD的中点.
(1)求证:BG⊥面PAD;
(2)E是BC的中点,在PC上求一点F,使得PG面DEF.
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如图,ABCD是梯形,ABCD,∠BAD=90°,PA⊥面ABCD,且AB=1,AD=1,CD=2,PA=3,E为PD的中点
(Ⅰ)求证:AE面PBC.
(Ⅱ)求直线AC与PB所成角的余弦值;
(Ⅲ)在面PAB内能否找一点N,使NE⊥面PAC.若存在,找出并证明;若不存在,请说明理由.
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如图,AB为圆O的直径,点C为圆O上异于A、B的一点,PA⊥平面ABC,点A在PB、PC上的射影分别为点E、F.
(1)求证:PB⊥平面AFE;
(2)若AB=4,PA=3,BC=2,求三棱锥C-PAB的体积与此三棱锥的外接球(即点P、A、B、C都在此球面上)的体积之比.
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已知:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是CC1的中点,F是AC,BD的交点.
求证:A1F⊥平面BED.
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