如图甲,在平面四边形ABCD中,已知∠A=45°,∠C=90°,∠ADC=105°,AB=BD,现将四边形ABCD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BDC(如图乙)

如图甲,在平面四边形ABCD中,已知∠A=45°,∠C=90°,∠ADC=105°,AB=BD,现将四边形ABCD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BDC(如图乙)

题型:0112 模拟题难度:来源:
如图甲,在平面四边形ABCD中,已知∠A=45°,∠C=90°,∠ADC=105°,AB=BD,现将四边形ABCD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BDC(如图乙),设点E、F分别为棱AC、AD的中点.
(Ⅰ)求证:DC⊥平面ABC;
(Ⅱ)设CD=a,求三棱锥A-BFE的体积.
答案
(Ⅰ)证明:在图甲中∵AB=BD且∠A=45°,
∴∠ADB=45°,∠ABD=90°,即AB⊥BD,
在图乙中,∵平面ABD⊥平面BDC ,且平面ABD∩平面BDC=BD,
∴AB⊥底面BDC,∴AB⊥CD,
又∠DCB=90°,
∴DC⊥BC,且AB∩BC=B,
∴DC⊥平面ABC.
(Ⅱ)解:∵E、F分别为AC、AD的中点,
∴EF∥CD,又由(Ⅰ)知,DC⊥平面ABC,
∴EF⊥平面ABC,

在图甲中,∵∠ADC=105°,∴∠BDC=60°,∠DBC=30°,
由CD=a得
,∴
举一反三
已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC,且BC=2AB=2AD=2,侧面PAD为等边三角形,PB=PC=
(1)求证:PC⊥平面PAB;
(2)求四棱锥P-ABCD的体积。
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如图,四边形ABCD为正方形,QA⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD。
(1)证明:PQ⊥平面DCQ;
(2)求棱锥Q-ABCD的的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值。
题型:辽宁省高考真题难度:| 查看答案
已知m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面 ,且m⊥α,n⊥β,则下列命题中不正确的是[     ]
A.若n∥α,则α⊥β
B.若α⊥β,则m⊥n
C.若m与n相交,则α与β也相交
D.若α与β相交,则m与n也相交
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如图,棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为菱形,平面AA1C1C⊥平面ABCD,
(1)证明:BD⊥AA1
(2)证明:平面AB1C∥平面DA1C1
(3)在直线CC1上是否存在点P,使BP∥平面DA1C1?若存在,确定点P的位置;若不存在,说明理由。
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在空间中,下列结论中正确的是[     ]
A、垂直于同一平面的两个平面互相平行
B、垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C、平行于同一条直线的两个平面互相平行
D、垂直于同一条直线的两个平面互相平行
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