如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD

题型：福建省高考真题难度：来源：

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点。
（1）求证：PO⊥平面ABCD；
（2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；
（3）求点A到平面PCD的距离。

答案

解：（1）在△PAD中PA=PD，O为AD中点，
所以PO⊥AD
又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD；
（2）连结BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，AD=2AB=2BC，
有OD∥BC且OD=BC，
所以四边形OBCD是平行四边形，
所以OB∥DC
由（1）知PO⊥OB，∠PBO为锐角，
所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角
因为AD=2AB=2BC=2，
在Rt△AOB中，AB=1，AO=1，
所以OB=，
在Rt△POA中，因为AP=，AO=1，
所以OP=1，
在Rt△PBO中，PB=，
cos∠PBO=
所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为。

（3）由（2）得CD=OB=
在Rt△POC中，PC=
所以PC=CD=DP，S_△PCD=·2=
又S_△ACD=
设点A到平面PCD的距离h，
由V_P-ACD=V_A-PCD，得
·S_△ACD·OP=S_△PCD·h
得×1×1=××h
解得h=。