(Ⅰ)证明:因为AB=3,BC=4,因此AC=5, 从而,即AB⊥BC, 又因为AB⊥BB1,而BC∩BB1=B, 从而AB⊥平面BC1, 又PC平面BC1, 所以,AB⊥PQ。 (Ⅱ)证明:过M作MN∥CQ交AQ于N,连结PN, 因为AM:MC=3:4, ∴AM:AC=MN:CQ=3:7, ∴MN=PB=3, ∵PB∥CQ, ∴MN∥PB, ∴四边形PBMN为平行四边形, ∴BM∥PN, ∴BM∥平面APQ。 (Ⅲ)解:由图1知,PB=AB=3,QC=7,分别以BA,BC,BB1为x,y,z轴, 则A(3,0,0),C(0,4,0),P(0,0,3),Q(0,4,7), , 设平面APQ的法向量为,, 所以,得, 令a=1,则c=1,b=-1,, 所以,直线BC与平面APQ所成角的正弦值为。 |