如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高． （Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面PBD； （Ⅱ）若，∠APB=∠

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如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．
（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若，∠APB=∠ADB=60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．

答案

解：（Ⅰ）因为PH是四棱锥P﹣ABCD的高．
所以AC⊥PH，
又AC⊥BD，PH，BD都在平PHD内，且PH∩BD=H．
所以AC⊥平面PBD．故平面PAC⊥平面PBD
（Ⅱ）因为ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD， AB=．
所以HA=HB=．
因为∠APB=∠ADB=60°
所以PA=PB=，HD=HC=1．
可得PH=．
等腰梯形ABCD的面积为S=ACBD=2+
所以四棱锥的体积为V=×（2+）×=．