三棱锥P-ABC中,∠BAC=90°,PA=PB=PC=BC=2AB=2,(1) 求证:面PBC⊥面ABC;(2) 求二面角B-AP-C的余弦值.
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三棱锥P-ABC中,∠BAC=90°,PA=PB=PC=BC=2AB=2,(1) 求证:面PBC⊥面ABC;(2) 求二面角B-AP-C的余弦值.
题型:山东省模拟题
难度:
来源:
三棱锥P-ABC中,∠BAC=90°,PA=PB=PC=BC=2AB=2,
(1) 求证:面PBC⊥面ABC;
(2) 求二面角B-AP-C的余弦值.
答案
(1)证明:取BC中点O,连接AO,PO,
由已知△BAC为直角三角形,所以可得OA=OB=OC,
又知PA=PB=PC,则△POA≌△POB≌△POC,
∴∠POA=∠POB=∠POC=90°,
∴PO⊥OB,PO⊥OA,OB∩OA=O,
所以PO⊥面BCD,
又PO
面ABC,
∴面PBC⊥面ABC。
(2)解:过O作OD与BC垂直,交AC于D点,
如图建立坐标系O-xyz,
则
,
设面PAB的法向量为n
1
=(x,y,z),
由n
1
·
=0,n
1
·
=0,可知n
1
=(1,-
,1);
同理可求得面PAC的法向量为n
2
=(3,
,1),
∴cos(n
1
,n
2
)=
。
举一反三
α、β、γ、ω是四个不同平面,若α⊥γ,β⊥γ,α⊥ω,β⊥ω,则
[ ]
A.α∥β且γ∥ω
B.α∥β或γ∥ω
C.这四个平面中可能任意两个都不平行
D.这四个平面中至多有一对平面平行
题型:同步题
难度:
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设α,β为两个不重合的平面,l,M,n为两两不重合的直线,给出下列四个命题:
①若α∥β,l
α,则l∥β;②若M
α,n
α,M∥β,n∥β,则α∥β;
③若l∥α,l⊥β,则α⊥β;④若M
α,n
α,且l⊥M,l⊥n,则l⊥α;
其中正确命题的序号是
[ ]
A.①③④
B.①②③
C.①③
D.②④
题型:同步题
难度:
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过点S引三条不共面的直线SA、SB、SC,如图,∠BSC=90°,∠ASC=∠ASB=60°,若截取SA=SB=SC=a,
(1)求证:平面ABC⊥平面BSC;
(2)求S到平面ABC的距离.
题型:同步题
难度:
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如图,正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD,线段CD为圆O的弦,AE垂直于圆O所在平面,垂足E是圆O上异于C,D的点,AE=3,圆O的直径为9.
(Ⅰ)求证:平面ABCD⊥平面ADE;
(Ⅱ)求二面角D-BC-E的平面角的正切值。
题型:广东省模拟题
难度:
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如图所示,在三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,侧面A
1
ABB
1
和BCC
1
B
1
是两个全等的正方形,AC
1
⊥平面A
1
DB,D为AC的中点.
(Ⅰ)求证:平面A
1
ABB⊥平面BCC
1
B
1
;
(Ⅱ)求证:B
1
C∥平面A
1
DB;
(Ⅲ)设E是CC
1
上一点,试确定点E的位置,使平面A
1
DB⊥平面BDE,并说明理由.
题型:辽宁省模拟题
难度:
|
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