已知正方体ABCD-A1B1C1D1. (1)求证:平面A1BD∥平面B1D1C;(2)若E、F分别是AA1、CC1的中点,求证:平面EB1D1∥平面FBD.

题型：不详难度：来源：

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁.
(1)求证:平面A₁BD∥平面B₁D₁C;
(2)若E、F分别是AA₁、CC₁的中点,求证:平面EB₁D₁∥平面FBD.

答案

  证明:(1)由B₁B∥DD₁,且B₁B=DD₁,得B₁D₁∥BD.
因为平面B₁D₁C,
而平面B₁D₁C,
所以BD∥平面B₁D₁C.
同理A₁D∥平面B₁D₁C.
又A₁D∩BD=D,所以平面A₁BD∥平面B₁D₁C.
(2)由BD∥B₁D₁,得BD∥平面EB₁D₁.
取BB₁中点G,连结AG、GF,

则AE∥B₁G且AE=B₁G,
所以B₁E∥AG.
由GF∥BC且GF=BC,BC∥AD,
得GF∥AD且GF=AD,
所以AG∥DF且AG=DF.
所以B₁E∥DF.
所以DF∥平面EB₁D₁.
所以平面EB₁D₁∥平面FBD.

解析

空间直线和平面