已知棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为侧面AB1的中心,F为棱A1D1的中点,试计算:(1)EF•FC1;(2)求证EF⊥面AB1C;(3)求E
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已知棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为侧面AB1的中心,F为棱A1D1的中点,试计算:(1)EF•FC1;(2)求证EF⊥面AB1C;(3)求E
题型:不详
难度:
来源:
已知棱长为4的正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,E为侧面AB
1
的中心,F为棱A
1
D
1
的中点,试计算:
(1)
EF
•
F
C
1
;
(2)求证EF⊥面AB
1
C;
(3)求ED
1
与面CD
1
所成角的余弦值.
答案
以AB,AD,AA
1
的方向为x轴,y轴,z轴方向建立空间直角坐标互AO为坐标原点,A,B,C,D,A
1
,B
1
,C
1
,D
1
,E,F的坐标分别为(0,0,0),(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),(0,0,4),(4,0,4),(4,4,4),(0,4,4),(2,0,2),(0,2,4)
(1)
EF
=(-2,2,2),
F
C
1
=(4,2,0)
EF
•
F
C
1
=-4
(2)∵
EF
•
A
B
1
=0,
EF
•
B
1
C
=0
∴EF⊥AB
1
EF⊥B
1
C
从而EF⊥面AB
1
C
(3)
E
D
1
=-(-2,4,2)
面CD
1
的法向量可取
AD
=(0,4,0)
,设ED
1
与面CD
1
所成的角为θ
则
sinθ=
|
E
D
1
-
A
D
|
|
E
D
1
|•|
A
D
|
=
16
2
6
×4
=
6
3
cosθ=
1-
sin
2
θ
=
3
3
故所求角的余弦值为
3
3
.
举一反三
若直线l与平面α所成角为
π
3
,直线a在平面α内,且与直线l异面,则直线l与直线a所成的角的取值范围是( )
A.
[0,
2
3
π]
B.
[
π
3
,
2π
3
)
C.
[
π
3
,
π
2
]
D.
[
π
3
,
2π
3
]
题型:不详
难度:
|
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两条异面直线上的两个向量的夹角为
π-arccos
1
3
,则这两条异面直线所成角的大小是______.
题型:不详
难度:
|
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在长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,AA
1
=AB=2,AD=1,点E、F、G分别是DD
1
、AB、CC
1
的中点,则异面直线A
1
E与GF所成的角是______.
题型:不详
难度:
|
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直线l与平面α成角为30°,l∩α=A,m⊂α,A∉m则m与l所成角的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
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若二面角α-l-β的大小为
5π
6
,直线m⊥α,直线n⊂β,则直线m与n所成的角取值范围是( )
A.
(0,
π
2
)
B.
[
π
3
,
π
2
]
C.
[
π
6
,
π
2
]
D.
[
π
6
,
π
3
]
题型:不详
难度:
|
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