如图ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD,E是PC的中点.求证:(1)PA∥平面BDE;(2)平面PAC⊥平面BDE.(3)若PO=1,AB=

如图ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD,E是PC的中点.求证:(1)PA∥平面BDE;(2)平面PAC⊥平面BDE.(3)若PO=1,AB=

题型:不详难度:来源:
如图ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD,E是PC的中点.求证:
(1)PA平面BDE;
(2)平面PAC⊥平面BDE.
(3)若PO=1,AB=2,则异面直线OE与AD所成角的余弦值.魔方格
答案

魔方格
证明:(1)连接AC、OE,AC∩BD=O,
在△PAC中,∵E为PC中点,O为AC中点.∴PAEO,
又∵EO?平面EBD,PA?平面EBD,∴PA面BDE.

(2)∵PO⊥底面ABCD,∴PO⊥BD.
又∵BD⊥AC,∴BD⊥平面PAC.
又BD?平面BDE,∴平面PAC⊥平面BDE.

(3)由(1)知,PAEO,
∴∠PAD为异面直线OE与AD所成角.
∵O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD
∴PD=


PO2+OD2
=


1+2
=


3

PA=


PO2+OA2
=


1+2
=


3

∴在△APD中,PA=PD,△APD是等腰三角形.
∴cos∠PAD=
1
2
AD
PA
=
1


3
=


3
3
举一反三
设AD1是正方体的一条面对角线,则与AD1成60°角的面对角线的条数是(  )
A.2B.4C.6D.8
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如图,在正三角形ABC中,D,E,F分别为各边的中点,G,J分别为AF,DE的中点.将△ABC沿DE,EF,DF折成三棱锥以后,GJ与DE所成角的度数为(  )
A.90°B.60°C.45°D.0
魔方格
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空间四边形ABCD中,AD=1,BC=


3
,且AD⊥BC,BD=


13
2
,AC=


3
2
,求AC与BD所成的角.魔方格
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如图,空间四边形ABCD中,对角线AC=8,BD=6,M、N分别为AB、CD的中点,且MN=5,则AC、BD所成的角为______.魔方格
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如图所示,设 A,B,C,D是不共面的四点,P,Q,R,S分别是AC,BC,BD,AD的中点,若AB=12


2
,CD=4


3
,且四边形PQRS的面积是12


3
,求异面直线AB和CD所成角的大小.
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