如图,已知三棱锥O-ABC的侧棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=2,OB=3,OC=4,E是OC的中点.(1)求异面直线BE与AC所成角的余弦值;(2)求二面
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如图,已知三棱锥O-ABC的侧棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=2,OB=3,OC=4,E是OC的中点.(1)求异面直线BE与AC所成角的余弦值;(2)求二面
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如图,已知三棱锥O-ABC的侧棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=2,OB=3,OC=4,E是OC的中点.
(1)求异面直线BE与AC所成角的余弦值;
(2)求二面角A-BE-C的余弦值.
答案
(I)
.(II)
.
解析
试题分析:(I)以O为原点,OB,OC,OA分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.
则有A(0,0,2),B(3,0,0),C(0,4,0),E(0,2,0).
所以,cos<
>
.
由于异面直线BE与AC所成的角是锐角,
所以,异面直线BE与AC所成角的余弦值是
.
(II)
,
,
设平面ABE的法向量为
,
则由
,
,得
,
取
,
又因为
所以平面BEC的一个法向量为n
2
=(0,0,1),
所以
.
由于二面角A-BE-C的平面角是n
1
与n
2
的夹角的补角,
所以,二面角A-BE-C的余弦值是
.
点评:典型题,立体几何题,是高考必考内容,往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中,有“几何法”和“向量法”。利用几何法,要遵循“一作、二证、三计算”的步骤,应用空间向量,使问题解答得以简化。本解答利用了“向量法”,简化了证明过程,实现了“以算代证”。
举一反三
设
,
是两条不同的直线,
,
,
是三个不同的平面.有下列四个命题:
①若
,
,
,则
;②若
,
,则
;
③ 若
,
,
,则
;④ 若
,
,
,则
.
其中错误命题的序号是( )
A.①④
B.①③
C.②③④
D.②③
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在四面体
中,
,且E、F分别是AB、BD的中点,
求证:(1)直线EF//面ACD
(2)面EFC⊥面BCD
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已知两条不同直线
和
及平面
,则直线
的一个充分条件是 ( )
A.
且
B.
且
C.
且
D.
且
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(本小题满分12分)
如图,在三棱锥
中,
,
,
,
,
, 点
,
分别在棱
上,且
,
(Ⅰ)求证:
平面PAC
(Ⅱ)当
为
的中点时,求
与平面
所成的角的正弦值;
(Ⅲ)是否存在点
使得二面角
为直二面角?并说明理由.
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在正三棱
( )
A.
B.
C.
D.
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