(本小题12分) 如图四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为正方形,侧棱与底边长均为a,且∠A1AD=∠A1AB=60°。①求证四棱锥 A1-ABC
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(本小题12分) 如图四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为正方形,侧棱与底边长均为a,且∠A1AD=∠A1AB=60°。①求证四棱锥 A1-ABC
题型:不详
难度:
来源:
(本小题12分) 如图四棱柱ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的底面ABCD为正方形,侧棱与底边长均为a,
且∠A
1
AD=∠A
1
AB=60°。
①求证四棱锥 A
1
-ABCD为正四棱锥;
②求侧棱AA
1
到截面B
1
BDD
1
的距离;
③求侧面A
1
ABB
1
与截面B
1
BDD
1
的锐二面角大小。
答案
(1)因为Rt△ABD的外心是斜边BD的中点,所以O是底面正方形ABCD的中心,因此证明。
(2)
a
(3)arctan
。
解析
试题分析:(1)由AA
1
=AD=AB,及∠A
1
AD=∠A
1
AB=60°
△A
1
AD、△AA
1
B都是正三角形,从而AA
1
=A
1
D=A
1
B,设A
1
在底面ABCD的射影为O,则由斜线长相等推出射影长也相等,所以O是Rt△ABD的外心,因为Rt△ABD的外心是斜边BD的中点,所以O是底面正方形ABCD的中心。所以四棱锥A
1
—ABCD是正四棱锥。
(2)由DB⊥平面AA
1
O
截面BB
1
D
1
D⊥平面AA
1
O
点O与侧棱AA
1
的距离d等于AA
1
和截面BB
1
D
1
D之间的距离。取AA
1
的中点M,则OM∥A
1
C,且OM⊥AA
1
,OM=
A
1
C=
a,∴所求距离为
a。
(3)注意到所求二面角的棱是B
1
B,由M是AA
1
的中点
MB⊥AA
1
,B
1
B∥AA
1
MB⊥B
1
B,又DB⊥AA
1
,AA
1
//B
1
B
DB⊥B
1
B,
∴∠MBD是所求二面角的平面角。不妨设AB=a=2,则BD=2
,MB=MD=
,
∴tanMBD=
。
∴侧面A
1
ABB
1
与截面B
1
BDD
1
的夹角为arctan
。
点评:对于立体几何中的角和距离的求解是高考的一个方向,那么解决这类问题一般可以从两个角度来做,一个就是利用几何性质,结合定理和推论来了得到,另一个就是建立直角坐标系,通过法向量和直线的方向向量来表示得到,属于中档题。
举一反三
下列命题:①已知直线
,若
,则
∥
;②
是异面直线,
是异面直线,则
不一定是异面直线;③过空间任一点,有且仅有一条直线和已知平面
垂直;④平面
//平面
,点
,直线
//
,则
;其中正确的命题的个数有( )
A.0
B.1
C.2
D.3
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分12分)
如图,棱长为2的正方体
中,E,F满足
.
(Ⅰ)求证:EF//平面AB
;
(Ⅱ)求证:EF
;
题型:不详
难度:
|
查看答案
设
是两不同直线,
是两不同平面,则下列命题错误的是
A.若
,
∥
,则
B.若
,
,
∥
,则
∥
C.若
∥
,
∥
则
∥
D.若
,
∥
,
,则
题型:不详
难度:
|
查看答案
(本小题满分12分)
四棱锥
,面
⊥面
.侧面
是以
为直角顶点的等腰直角三角形,底面
为直角梯形,
,
∥
,
⊥
,
为
上一点,且
.
(Ⅰ)求证
⊥
;
(Ⅱ)求二面角
的正弦值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
(本小题满分14分)
如图,在四棱锥
中,
∥
,
,
,
⊥
,
⊥
,
为
的中点.
求证:(1)
∥平面
;
(2)
⊥平面
.
题型:不详
难度:
|
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