试题分析:(Ⅰ)证明:连结,交于点,连结. 由 是直三棱柱, 得 四边形为矩形,为的中点. 又为中点,所以为中位线, 所以 ∥, 因为 平面,平面, 所以 ∥平面. (Ⅱ)由是直三棱柱,且,故两两垂直. 如图建立空间直角坐标系.设,
则. 所以 , 设平面的法向量为,则有 所以 取,得. 易知平面的法向量为. 由二面角是锐角,得 . 所以二面角的余弦值为. (Ⅲ)假设存在满足条件的点. 因为在线段上,,,故可设,其中. 所以 ,. 因为与成角,所以. 即,解得,舍去. 所以当点为线段中点时,与成角. 点评:二面角的求法是立体几何中的一个难点。我们解决此类问题常用的方法有两种:①综合法,综合法的一般步骤是:一作二说三求。②向量法,运用向量法求二面角应注意的是计算。很多同学都会应用向量法求二面角,但结果往往求不对,出现的问题就是计算错误。 |