(本题满分12分) 如图,平面⊥平面,其中为矩形,为梯形,∥,⊥,==2=2,为中点.(Ⅰ) 证明;(Ⅱ) 若二面角的平面角的余弦值为,求的长.

(本题满分12分) 如图,平面⊥平面,其中为矩形,为梯形,∥,⊥,==2=2,为中点.(Ⅰ) 证明;(Ⅱ) 若二面角的平面角的余弦值为,求的长.

题型:不详难度:来源:
(本题满分12分) 如图,平面⊥平面,其中为矩形,为梯形,=2=2,中点.
(Ⅰ) 证明
(Ⅱ) 若二面角的平面角的余弦值为,求的长.
答案
(Ⅰ) 证明见解析(Ⅱ)
解析

试题分析:(Ⅰ)由已知为正三角形,中点,所以 ,
因为平面⊥平面,平面⊥平面,
所以平面,所以.                                            ……4分
(Ⅱ) 方法一:设.取的中点,由题意得
因为平面⊥平面,所以⊥平面
所以,所以⊥平面
,垂足为
连结,则
所以为二面角的平面角.                                         ……8分
在直角△中,,得
在直角△中,由=sin∠AFB=,得,所以
在直角△中,,得
因为,得x=,所以.                      ……12分
方法二:设.以为原点,所在的直线分别为轴,轴建立空间直角坐标系
 (0,0,0),(-2,0,0),(,0,0),(-1,,0),(-2,0,),
所以=(1,-,0),=(2,0,-).
因为⊥平面,所以平面的法向量可取=(0,1,0).
为平面的法向量,则

所以,可取=(,1,).因为cos<>=
得x=,所以.                                                   ……12分
点评:遇到立体几何的证明题,要紧扣定理,要把定理要求的条件一一列清楚;而利用空间向量解决立体几何问题时,要建立右手空间直角坐标系,要准确计算.
举一反三
是直线,是两个不同的平面,下列选项正确的是(   )
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若, ,则

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(本小题满分12分)如图所示,四棱锥中,为正方形, 分别是线段的中点. 求证:
(1)//平面 ; 
(2)平面⊥平面.
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有两条不同的直线m,n与两个不同的平面α,β,下列命题正确的是(  ).
A.m∥α,n∥β,且α∥β,则m∥n
B.m⊥α,n⊥β,且α⊥β,则m∥n
C.m∥α,n⊥β,且α⊥β,则m∥n
D.m⊥α,n∥β,且α∥β,则m⊥n

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如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,E、F分别是平面A1B1C1D1和ADD1A1的中心,则EF和CD所成的角是(  ).
A.60° B.45°C.30°D.90°

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已知空间四边形ABCD中,G是CD的中点,则=
         
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