试题分析:(Ⅰ)由已知为正三角形,为中点,所以 , 因为平面⊥平面,平面⊥平面, 所以平面,所以. ……4分 (Ⅱ) 方法一:设.取的中点,由题意得. 因为平面⊥平面,,所以⊥平面, 所以,所以⊥平面. 过作,垂足为, 连结,则, 所以为二面角的平面角. ……8分 在直角△中,,得. 在直角△中,由=sin∠AFB=,得=,所以=. 在直角△中,,=,得=. 因为==,得x=,所以=. ……12分 方法二:设.以为原点,所在的直线分别为轴,轴建立空间直角坐标系. 则 (0,0,0),(-2,0,0),(,0,0),(-1,,0),(-2,0,), 所以=(1,-,0),=(2,0,-). 因为⊥平面,所以平面的法向量可取=(0,1,0). 设=为平面的法向量,则
所以,可取=(,1,).因为cos<,>==, 得x=,所以=. ……12分 点评:遇到立体几何的证明题,要紧扣定理,要把定理要求的条件一一列清楚;而利用空间向量解决立体几何问题时,要建立右手空间直角坐标系,要准确计算. |