(本题满分15分) 如图,已知正方形和矩形所在的平面互相垂直,,,是线段的中点.(Ⅰ)求证://平面;(Ⅱ)求二面角的大小;(Ⅲ)试在线段上确定一点,使得与所
题型:不详难度:来源:
(本题满分15分) 如图,已知正方形和矩形所在的平面互相垂直,,,是线段的中点.
(Ⅰ)求证://平面; (Ⅱ)求二面角的大小; (Ⅲ)试在线段上确定一点,使得与所成的角是. |
答案
(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)60º。(Ⅲ)点P是AC的中点。 |
解析
本题考查直线与平面平行,二面角的知识,考查空间想象能力,逻辑思维能力,是中档题。 (1)要证AM∥平面BDE,直线证明直线AM平行平面BDE内的直线OE即可,也可以利用空间直角坐标系,求出向量AM ,在平面BDE内求出向量 NE ,证明二者共线,说明AM∥平面BDE, (2)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S,连接BS,说明∠BSA是二面角A-DF-B的平面角,然后求二面角A-DF-B的大小;也可以建立空间直角坐标系,求出 NE • DB =0, NE • NF =0说明 NE 是平面DFB的法向量,求出平面DAF的法向量 AB ="(-" 2 ,0,0),然后利用数量积求解即可. (3)点P是AC的中点时,满足PF和CD所成的角是60º,运用向量的方法证明。 解: (Ⅰ)记AC与BD的交点为O,连接OE, ∵O、M分别是AC、EF的中点,ACEF是矩形,∴四边形AOEM是平行四边形,∴AM∥OE。∵平面BDE, 平面BDE, ∴AM∥平面BDE。 (Ⅱ)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S,连结BS,∵AB⊥AF, AB⊥AD, ∴AB⊥平面ADF,∴AS是BS在平面ADF上的射影,由三垂线定理得BS⊥DF。∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角。 在RtΔASB中,∴ ∴二面角A—DF—B的大小为60º。 (Ⅲ)设CP=t(0≤t≤2),作PQ⊥AB于Q,则PQ∥AD, ∵PQ⊥AB,PQ⊥AF,,∴PQ⊥平面ABF,平面ABF,∴PQ⊥QF。 在RtΔPQF中,∠FPQ=60º,PF=2PQ。∵ΔPAQ为等腰直角三角形,∴ 又∵ΔPAF为直角三角形,∴,∴ 所以t=1或t=3(舍去)即点P是AC的中点。 方法二 (Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系。
设,连接NE,则点N、E的坐标分别是(、(0,0,1), ∴NE=(, 又点A、M的坐标分别是 ()、( ∴ AM=(∴NE=AM且NE与AM不共线,∴NE∥AM。 又∵平面BDE, 平面BDE,∴AM∥平面BDF。 (Ⅱ)∵AF⊥AB,AB⊥AD,AF∴AB⊥平面ADF。∴为平面DAF的法向量。∵NE·DB=(·=0,∴NE·NF=(·=0得NE⊥DB,NE⊥NF,∴NE为平面BDF的法向量。∴cos<AB,NE>=∴AB与NE的夹角是60º。即所求二面角A—DF—B的大小是60º。 (Ⅲ)设P(t,t,0)(0≤t≤)得∴CD=(,0,0)又∵PF和CD所成的角是60º。∴解得或(舍去),即点P是AC的中点。 |
举一反三
已知的平面直观图A1B1C1是边长为2的正三角形,则原的面积是( ) |
、设是两个不重合的平面,是两条不同的直线,给出下列命题: (1)若∥,∥,则∥ (2)若∥,,则∥ (3)若则 (4)若∥∥,则,其中正确的有 (只填序号) |
(本小题满分14分) 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动. (Ⅰ) 证明:BC1//平面ACD1; (Ⅱ)证明:A1D⊥D1E; (Ⅲ) 当E为AB的中点时,求点E到面 ACD1的距离. |
(满分14分)如图,在四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点,
(Ⅰ)求证:平面BCD; (Ⅱ)求异面直线AB与CD所成角的余弦值; (Ⅲ)求点E到平面ACD的距离. |
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