解法一: (Ⅰ)因为 ,所以. 又因为侧面底面,且侧面底面, 所以底面. 而底面, 所以. 在底面中,因为,, 所以 ,所以. 又因为, 所以平面. ……………………………4分 (Ⅱ)在上存在中点,使得平面, 证明如下:设的中点是, 连结,,,
则,且. 由已知, 所以. 又, 所以,且, 所以四边形为平行四边形,所以. 因为平面,平面, 所以平面. ……………8分 (Ⅲ)设为中点,连结,
则 . 又因为平面平面, 所以 平面. 过作于, 连结,由三垂线定理可知. 所以是二面角的平面角. 设,则, . 在中,,所以. 所以 ,. 即二面角的余弦值为. ………………………………13分 解法二: 因为 , 所以. 又因为侧面底面, 且侧面底面, 所以 底面. 又因为, 所以,,两两垂直 分别以,,为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图.
设,则,,,,. (Ⅰ),,, 所以 ,,所以,. 又因为, 所以平面. …………………………4分 (Ⅱ)设侧棱的中点是, 则,. 设平面的一个法向量是,则 因为,, 所以 取,则. 所以,所以. 因为平面,所以平面. …………………………8分 (Ⅲ)由已知,平面,所以为平面的一个法向量. 由(Ⅱ)知,为平面的一个法向量. 设二面角的大小为,由图可知,为锐角, 所以. 即二面角的余弦值为. ………………………………13分 |