证明:(1)∵AB⊥平面BCD, ∴AB⊥CD. 又∵CD⊥BC, ∴CD⊥平面ABC. ∵=, ∴EF∥CD. ∴EF⊥平面ABC, ∵EF⊂平面BEF, ∴平面BEF⊥平面ABC. (2)解法一(向量法): 如图建立空间直角坐标系C-xyz 则B(2,0,0),D(0,,0),A(2,0,), ∵=1, ∴E(1,0,), ∵=2, ∴F(,,) ∴=(-1,0,),=(-,,), 设=(x,y,z),⊥平面BEF, 则, 设⊥平面BCD,则可取(0,0,1), ∴cos<,>=, 所以,平面BEF与平面BCD所成的锐二面角为45°. 方法二(几何法): 延长EF,交CD的延长线于G,连接BG, 过E作EH⊥BC于H,则EH⊥平面BCD, 过H作HK⊥BG于K,连接EK,则EK⊥BG, ∴∠EKH即为所求二面角的平面角. ∵=1, ∴AE=AB=, 在Rt△BCD中,可以解得HK=, ∴在Rt△BCD中,∠EKH=45°,即平面BEF与平面BCD所成的锐二面角为45°.
|