在四棱柱ABC-A1B1C1D1中,AA1⊥底面ABCD,底面ABCD是菱形,∠DAB=60°,AA1=4,AB=2,点E在棱CC1上,点F是棱C1D1的中点.
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在四棱柱ABC-A1B1C1D1中,AA1⊥底面ABCD,底面ABCD是菱形,∠DAB=60°,AA1=4,AB=2,点E在棱CC1上,点F是棱C1D1的中点. (I)若点E是棱CC1的中点,求证:EF∥平面A1BD; (II)试确定点E的位置,使得A1-BD-E为直二面角,并说明理由. |
答案
(I)证明:(1)连接CD1∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是菱形 ∴A1D1∥AD,AD∥BC,A1D1=AD,AD=BC; ∴A1D1∥BC,A1D1=BC,∴四边形A1BCD1为平行四边形; ∴A1B∥D1C(3分) ∵点E、F分别是棱CC1、C1D1的中点; ∴EF∥D1C 又∴EF∥A1B又∵A1B⊂平面A1DB,EF⊂面A1DB;∴EF∥平面A1BD(6分) (II)连接AC交BD于点G,连接A1G,EG ∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A⊥底面ABCD,底面ABCD是菱形 ∴AA1⊥AB,AA1⊥AD,EC⊥BC,EC⊥DC,AD=AB,BC=CD ∵底面ABCD是菱形,∴点G为BD中点,∴A1G⊥BD,EG⊥BD ∴∠A1GE为直二面角A1-BD-E的平面角,∴∠A1GE=90°(3分) 在棱形ABCD中,∠DAB=60°,AB=2,∴∠ABC=120°, ∴AC==2 ∴AG=GC=(10分) 在面ACC1A1中,△AGA1,△GCE为直角三角形 ∵∠A1GE=90°∴∠EGC+∠A1GA=90°, ∴∠EGC=∠AA1G, ∴Rt△A1AG∽Rt△ECG(12分) ∴=⇒EC= 所以当EC=时,A1-BD-E为直二面角.(15分) |
举一反三
已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的动点. (1)当E恰为棱CC1的中点时,试证明:平面A1BD⊥平面EBD; (2)在棱CC1上是否存在一个点E,可以使二面角A1-BD-E的大小为45°?如果存在,试确定点E在棱CC1上的位置;如果不存在,请说明理由. |
三棱锥A-BCD中,AB=AC=BC=CD=AD=a,要使三棱锥A-BCD的体积最大,则二面角B-AC-D的大小为( ) |
在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为棱AB和BC的中点,EF与BD交于点G. (1)求二面角B1-EF-B的正切值; (2)M为棱BB1上的一点,当的值为多少时能使D1M⊥平面EFB1?试给出证明. |
在四面体ABCD中,已知棱AC的长为,其余各棱长都为2,则二面角A-BD-C的大小为______. |
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