本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识,考查分类与整合思想,考查运算能力和综合解题能力.满分12分. 解法一:(Ⅰ)设M,N为短轴的两个三等分点,
因为△MNF为正三角形, 所以, 即1= 因此,椭圆方程为 (Ⅱ)设 (ⅰ)当直线AB与x轴重合时,
(ⅱ)当直线AB不与x轴重合时, 设直线AB的方程为: 整理得 所以 因为恒有,所以AOB恒为钝角. 即恒成立.
又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0对mR恒成立, 即a2b2m2> a2 -a2b2+b2对mR恒成立. 当mR时,a2b2m2最小值为0,所以a2- a2b2+b2<0. a2<a2b2- b2,a2<( a2-1)b2= b4, 因为a>0,b>0,所以a<b2,即a2-a-1>0, 解得a>或a<(舍去),即a>, 综合(i)(ii),a的取值范围为(,+). 解法二: (Ⅰ)同解法一, (Ⅱ)解:(i)当直线l垂直于x轴时, x=1代入=1. 因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,2(1+yA2)<4 yA2,yA2>1,即>1, 解得a>或a<(舍去),即a>. (ii)当直线l不垂直于x轴时,设A(x1,y1), B(x2,y2). 设直线AB的方程为y=k(x-1)代入 得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+ a2k2-a2b2=0, 故x1+x2= 因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2, 所以x21+y21+ x22+ y22<( x2-x1)2+(y2-y1)2, 得x1x2+ y1y2<0恒成立. x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x1-1) (x2-1)=(1+k2) x1x2-k2(x1+x2)+ k2 =(1+k2). 由题意得(a2- a2b2+b2)k2- a2 b2<0对kR恒成立. ①当a2- a2b2+b2>0时,不合题意; ②当a2- a2b2+b2=0时,a=; ③当a2- a2b2+b2<0时,a2- a2(a2-1)+ (a2-1)<0,a4- 3a2 +1>0, 解得a2>或a2>(舍去),a>,因此a. 综合(i)(ii),a的取值范围为(,+). |