如图,抛物线的顶点O在坐标原点,焦点在y轴负半轴上.过点M(0,-2)作直线l与抛物线相交于A,B两点,且满足OA+OB=(-4,-12).(Ⅰ)求直线l和抛物
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如图,抛物线的顶点O在坐标原点,焦点在y轴负半轴上.过点M(0,-2)作直线l与抛物线相交于A,B两点,且满足OA+OB=(-4,-12).(Ⅰ)求直线l和抛物
题型:不详
难度:
来源:
如图,抛物线的顶点O在坐标原点,焦点在y轴负半轴上.
过点M(0,-2)作直线l与抛物线相交于A,B两点,且满足
OA
+
OB
=(-4,-12)
.
(Ⅰ)求直线l和抛物线的方程;
(Ⅱ)当抛物线上一动点P从点A向点B运动时,求△ABP面积的最大值.
答案
(Ⅰ)根据题意可设直线l的方程为y=kx-2,抛物线方程为x
2
=-2py(p>0) (2分)
有
y=kx-2
x
2
=-2py
得x
2
+2pkx-4p=0 (3分)
设点A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)则x
1
+x
2
=-2pk,y
1
+y
2
=k(x
1
+x
2
)-4=-2pk
2
-4
∴
OA
+
OB
=(
x
1
+
x
2
,
y
1
+
y
2
)=(-2pk,-2p
k
2
-4)
(4分)
∵
OA
+
OB
=(-4,-12)
,
∴
-2pk=-4
-2p
k
2
-4=-12
,解得
p=1
k=2
(5分)
故直线l的方程为y=2x-2,抛物线方程为x
2
=-2y. (6分)
(Ⅱ)据题意,当抛物线过点P的切线与l平行时,△APB得面积最大(7分)
设点P(x
0
,y
0
),由y"=-x,故由-x
0
=2得x
0
=-2,则
y
0
=-
1
2
x
20
=-2
∴P(-2,-2) (9分)
∴点P到直线l的距离
d=
|2×(-2)-(-2)-2|
2
2
+
(-1)
2
=
4
5
=
4
5
5
(10分)
由
y=2x-2
x
2
=-2y
,得x
2
+4x-4=0 (11分)
∴
|AB|=
1+
k
2
(
x
1
+
x
2
)
2
-4
x
1
x
2
=
1+
2
2
(-4)
2
-4×(-4)
=4
10
(12分)
∴△ABP的面积的最大值为
1
2
•|AB|•d=
1
2
×4
10
×
4
5
5
=8
2
(14分)
举一反三
直线2mx-(m
2
+1)y-
m
=0倾斜角的取值范围( )
A.[0,π)
B.[0,
π
4
]∪[
3π
4
,π)
C.[0,
π
4
]
D.[0,
π
4
]∪(
π
2
,π)
题型:不详
难度:
|
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已知直线l
1
:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l
2
:(a-1)x+(2a+3)y+2=0垂直,则a=______.
题型:不详
难度:
|
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过点P(2,1)的直线l与坐标轴分别交A,B两点,如果三角形OAB的面积为5,则满足条件的直线l最多有( )条.
A.1
B.2
C.3
D.4
题型:不详
难度:
|
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已知直线l:ax+by+c=0.
(Ⅰ)求证:直线ax+by+c=0通过定点(1,1)的充要条件是a+b+c=0(a,b,c不全为0);
(Ⅱ)若直线l:ax+by+c=0与直线2x+y+3=0平行,求
a-3b
a+b
的值.
题型:不详
难度:
|
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已知曲线C
1
:y=x
2
与C
2
:y=-(x-2)
2
.直线l与C
1
、C
2
都相切,求直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
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