已知复数z0=1-mi（m＞0），z=x+yi和w=x"+y"i，其中x，y，x"，y"均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z，有w=.z0•.z，|w|=2

题型：上海难度：来源：

已知复数z₀=1-mi（m＞0），z=x+yi和w=x"+y"i，其中x，y，x"，y"均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z，有w=

.

z0

•

.

z

，|w|=2|z|．
（Ⅰ）试求m的值，并分别写出x"和y"用x、y表示的关系式；
（Ⅱ）将（x、y）作为点P的坐标，（x"、y"）作为点Q的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q，当点P在直线y=x+1上移动时，试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程；
（Ⅲ）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由．

答案

（Ⅰ）由题设，|w|=|

.

z0

•

.

z

|=|z0||z|=2|z|，∴|z₀|=2，
于是由1+m2=4，且m＞0，得m=

3

，…（3分）
因此由x′+y′i=

.

(1- 3i )

•

.

(x+yi)

=x+

3y

+(

3x

-y)i，
得关系式

x′=x+ 3y y′= 3x -y

…（5分）
（Ⅱ）设点P（x，y）在直线y=x+1上，则其经变换后的点Q（x"，y"）满足

x′=(1+ 3 )x+ 3 y′=( 3x -1)x-1

，…（7分）
消去x，得y′=(2-

3

)x′-2

3

+2，
故点Q的轨迹方程为y=(2-

3

)x-2

3

+2…（10分）
（3）假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件，
∴所求直线可设为y=kx+b（k≠0），…（12分）
[解法一]∵该直线上的任一点P（x，y），其经变换后得到的点Q(x+

3

y，

3

x-y)仍在该直线上，
∴

3

x-y=k(x+

3

y)+b，
即-(

3

k+1)y=(k-

3

)x+b，
当b≠0时，方程组

-( 3 k+1)=1 k- 3 =k

无解，
故这样的直线不存在．                                            …（16分）
当b=0时，由

-( 3 k+1)

1

=

k- 3

k

，
得

3

k2+2k-

3

=0，
解得k=

3

3

或k=-

3

，
故这样的直线存在，其方程为y=

3

3

x或y=-

3

x，…（18分）
[解法二]取直线上一点P(-

b

k

，0)，其经变换后的点Q(-

b

k

，-

3 b

k

)仍在该直线上，
∴-

3 b

k

=k(-

b

k

)+b，
得b=0，…（14分）
故所求直线为y=kx，取直线上一点P（0，k），其经变换后得到的点Q(1+

3

k，

3

-k)仍在该直线上．
∴

3

-k=k(1+

3

k)，…（16分）
即

3

k2+2k-

3

=0，得k=

3

3

或k=-

3

，
故这样的直线存在，其方程为y=

3

3

x或y=-

3

x，…（18分）