(本小题满分12分) 已知A(-3,0),B(3,0),三角形PAB的内切圆的圆心M在直线上移动。(Ⅰ)求点P的轨迹C的方程;(Ⅱ)某同学经研究作出判断,曲线C
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(本小题满分12分) 已知A(-3,0),B(3,0),三角形PAB的内切圆的圆心M在直线上移动。(Ⅰ)求点P的轨迹C的方程;(Ⅱ)某同学经研究作出判断,曲线C
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(本小题满分12分)
已知A(-3,0),B(3,0),三角形PAB的内切圆的圆心M在直线
上移动。
(Ⅰ)求点P的轨迹C的方程;
(Ⅱ)某同学经研究作出判断,曲线C在P点处的切线恒过点M,试问:其判断是否正确?若正确,请给出证明;否则说明
理由。
答案
(Ⅰ)
(Ⅱ)此同学的判断是正确的,证明见解析
解析
(Ⅰ)设
,三角形PAB的内切圆M与PA、PB、AB的切点分别为
E、F、H,则
P点的轨迹C为以A、B为焦点的双曲线的右支(除去顶点)
曲线C的方程为
(Ⅱ)此同学的判断是正确的
设P点处曲线的切线交
轴于点Q,下证:PQ平分
不妨设
当
时,曲线C满足
,
则曲线C在点P处的切线的斜率
直线PQ的方程为
取
,得
又
,即PQ平分
PQ恒过点M,得证
举一反三
已知直线l:y=kx+1(k∈R),圆C:
.
(1)当k=3时,设直线l与圆C交于点A、B,求
;
(2)求证:无论k取何值,直线l恒与圆C相交.
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内接于以
为圆心半径为1的圆,且
,则
的面积
=
。
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(本小题14分)已知圆
圆心在直线
上,且过点
,
.
(1)求圆
的方程;
(2)若直线
与圆
相交于
、
两点,
为坐标原点,且
,求
的值.
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已知直线ax+by+c=0与圆O:x
2
+y
2
=1相交于A、B两点,且|AB|=
,则
=
。
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若直线
经过圆
的圆心,则
的最小值是
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