已知直线l:X-y+1=0,⊙O:x2+y2=2上的任意一点P到直线l的距离为d.当d取得最大时对应P的坐标(m,n),设g(x)=mx+nx-2lnx.(1)
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已知直线l:X-y+1=0,⊙O:x2+y2=2上的任意一点P到直线l的距离为d.当d取得最大时对应P的坐标(m,n),设g(x)=mx+nx-2lnx.(1)
题型:不详
难度:
来源:
已知直线l:X-y+1=0,⊙O:x
2
+y
2
=2上的任意一点P到直线l的距离为d.当d取得最大时对应P的坐标(m,n),设g(x)=mx+
n
x
-2lnx.
(1)求证:当x≥1,g(x)≥0恒成立;
(2)讨论关于x的方程:
mx+
n
x
-g(x)=2
x
3
-4e
x
2
+tx
根的个数.
答案
(1)由题意得P(1,-1),
∴m=1,n=-1∴
g(x)=mx+
n
x
-2lnx=x-
1
x
-2lnx
∴
g′(x)=1+
1
x
2
-
2
x
=
x
2
-2x+1
x
2
=
(x-1)
2
x
2
≥0
,
∴g(x)在[1,+∞)是单调增函数,
∴g(x)≥g(1)=1-1-2ln1=0对于x∈[1,+∞)恒成立.
(2)方程
mx+
n
x
-g(x)=2
x
3
-4e
x
2
+tx
;
∴2lnx=2x
3
-4ex
2
+tx
∵x>0,∴方程为
2lnx
x
=2
x
2
-4ex+t
令
L(x)=
2lnx
x
,H(x)=2x
2
-4ex+t,
∵
L′(x)=2
1-lnx
x
2
,当x∈(0,e)时,L′(x)≥0,
∴L′(x)在(0,e]上为增函数;x∈[e,+∞)时,L′(x)≤0,
∴L′(x)在[0,e)上为减函数,
当x=e时,
L(x
)
max
=L(e)=
2
e
H(x)=2x
2
-4ex+t=2(x-e)
2
+t-2e
2
,
∴可以分析①当
t-2
e
2
>
2
e
,即
t>2
e
2
+
2
e
时,方程无解.
②当
t-2
e
2
=
2
e
,即
t=2
e
2
+
2
e
时,方程有一个根.
③当
t-2
e
2
<
2
e
,即
t<2
e
2
+
2
e
时,方程有两个根.
举一反三
若点P(4,a)到直线4x-3y=1的距离不大于3,则a的取值范围是( )
A.[0,10)
B.(0,10]
C.(-10,0]
D.[0,10]
题型:不详
难度:
|
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已知点A(-1,0),B(0,2),点P是圆(x-1)
2
+y
2
=1上任意一点,则△PAB面积的最大值是( )
A.2
B.
4+
5
2
C.
5
2
D.
2+
5
2
题型:不详
难度:
|
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已知直线
交于
A
、
B
两点,
O
是坐标原点,向量
、
满足
,则实数
a
的值是 ( )
A.2
B.-2
C.
或-
D.2或-2
题型:不详
难度:
|
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若直线
平分圆
,则
的最小值是
A.1
B.5
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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已知AC、BD为圆
的两条相互垂直的弦,垂足为
,则四边形ABCD的面积的最大值为
.
题型:不详
难度:
|
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