选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy中,曲线C1的参数方程为x=4cosθy=4sinθ(θ为参数,且0≤θ≤2π),点M是曲线C1上的动点.(Ⅰ

选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy中,曲线C1的参数方程为x=4cosθy=4sinθ(θ为参数,且0≤θ≤2π),点M是曲线C1上的动点.(Ⅰ

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选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xoy中,曲线C1的参数方程为





x=4cosθ
y=4sinθ
(θ为参数,且0≤θ≤2π),点M是曲线C1上的动点.
(Ⅰ)求线段OM的中点P的轨迹的直角坐标方程;
(Ⅱ)以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若直线l的极坐标方程为ρcosθ-ρsin+1=0(ρ>0),求点P到直线l距离的最大值.
答案
(Ⅰ)曲线C1上的动点M的坐标为(4cosθ,4sinθ),坐标原点O(0,0),
设P的坐标为(x,y),则由中点坐标公式得x=
1
2
(0+4c0sθ)=2cosθ,y=
1
2
(0+4sinθ)=2sinθ,
∴点P 的坐标为(2cosθ,2sinθ)
∴点P的轨迹的参数方程为





x=2cosθ
y=2sibθ
(θ为参数,且0≤θ≤2π),
消去参数θ得点P轨迹的直角坐标方程为x2+y2=4
(Ⅱ)由直角坐标与极坐标关系





x=ρcosθ
y=ρsibθ
得直线l的直角坐标方程为
x-y+1=0  
 又由(Ⅰ)知点P的轨迹为圆心在原点半径为2的圆,
因为原点(0,0)到直线x-y+1=0的距离为
|0-0+1|


12+(-1)2
=


2
2

所以点P到直线l距离的最大值2+


2
2
举一反三
已知圆C的方程为:x2+y2+2x-4y-20=0,
(1)若直线l1过点A(2,-2)且与圆C相切,求直线l1的方程;
(2)若直线l2过点B(-4,0)且与圆C相交所得的弦长为8,求直线l2的方程.
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如果圆:x2+y2+2x+4y+m=0上恰有两点到直线l:x+y+1=0的距离为


2
,则m的取值范围是______.
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已知圆C1的圆心在直线l1:x-y=0上,且圆C1与直线x=1-2


2
相切于点A(1-2


2
,1),直线l2:x+y-8=0.
(1)求圆C1的方程;
(2)判断直线l2与圆C1的位置关系;
(3)已知半径为2


2
的动圆C2经过点(1,1),当圆C2与直线l2相交时,求直线l2被圆C2截得弦长的最大值.
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已知点A(-10,0),B(0,5),若


AB
=
5
3


BP
,则点P到直线3x+4y-5=0的距离是______.
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过圆x2+y2=16内一点P的最短弦长为2


7
,且到直线3x+4y-20=0的距离为1,则点P的坐标是______.
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