在平面直角坐标系中,已知点A ( 12 , 0 ),点B在直线l:x=-12上运动,过点B与l垂直的直线和AB的中垂线相交于点M.(Ⅰ)求动点M的轨迹E的方程;

在平面直角坐标系中,已知点A ( 12 , 0 ),点B在直线l:x=-12上运动,过点B与l垂直的直线和AB的中垂线相交于点M.(Ⅰ)求动点M的轨迹E的方程;

题型:不详难度:来源:
在平面直角坐标系中,已知点A ( 
1
2
 , 0 )
,点B在直线l:x=-
1
2
上运动,过点B与l垂直的直线和AB的中垂线相交于点M.
(Ⅰ)求动点M的轨迹E的方程;
(Ⅱ)设点P是轨迹E上的动点,点R,N在y轴上,圆C:(x-1)2+y2=1内切于△PRN,求△PRN的面积的最小值.
答案
(Ⅰ)设点M的坐标为(x,y),由题设知,|MB|=|MA|.
所以动点M的轨迹E是以A ( 
1
2
 , 0 )
为焦点,
l:x=-
1
2
为准线的抛物线,其方程为y2=2x;
(Ⅱ)设P(x0,y0),R(0,b),N(0,c),且b>c,
故直线PR的方程为(y0-b)x-x0y+x0b=0.
由题设知,圆心(1,0)到直线PR的距离为1,
y0-b+x0b |


y0-b )2+x02
=1

注意到x0>2,化简上式,得(x0-2)b2+2y0b-x0=0,
同理可得(x0-2)c2+2y0c-x0=0.
由上可知,b,c为方程(x0-2)x2+2y0x-x0=0的两根,
根据求根公式,可得b-c=


4
x20
+4
y20
-8x0
x0-2
=
2x0
x0-2

故△PRN的面积为
S=
1
2
( b-c )x0=
x20
x0-2
=( x0-2 )+
4
x0-2
+4≥2


x0-2 )•
4
x0-2
+4=8

等号当且仅当x0=4时成立.此时点P的坐标为( 4 , 2


2
 )
( 4 , -2


2
 )

综上所述,当点P的坐标为( 4 , 2


2
 )
( 4 , -2


2
 )
时,△PRN的面积取最小值8.
举一反三
已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 ______.
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选修4-4:坐标系与参数方程
已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处,极轴与x轴的正半轴重合,且长度单位相同.直线l的极坐标方程为:ρ=
10


2
sin(θ-
π
4
)
,点P(2cosα,2sinα+2),参数α∈[0,2π].
(Ⅰ)求点P轨迹的直角坐标方程;
(Ⅱ)求点P到直线l距离的最大值.
题型:辽宁模拟难度:| 查看答案
若圆x2+y2=r2(r>0)上恰有相异两点到直线4x-3y+25=0的距离等于1,则r的取值范围是(  )
A.[4,6]B.(4,6)C.(4,6]D.[4,6)
题型:不详难度:| 查看答案
圆x2+y2-2x+4y-20=0截直线5x-12y+c=0所得弦长为8,则c的值为(  )
A.10B.-68C.12D.10或-68
题型:不详难度:| 查看答案
已知动点M到定直线l:x=-
3
2
的距离比到定点(
1
2
,0)的距离多1,
(I)求动点M的轨迹C的方程;
(II)设A(a,0)(a∈R),求曲线C上点P到点A距离的最小值d(a)
题型:不详难度:| 查看答案
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