试题分析:(1)曲线y=x2-2x—3与y轴的交点为(0,-3),与x轴的交点为(-1,0),(3,0). 故可设圆C的圆心为(1,t),则有12+(t+3)2=(1+1)2+t2,解得t=. 则圆C的半径为.则以圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=5. (2) , 圆心C到直线x-y+a=0的距离为 即,解得或 (3)设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组:. 消去y,得到方程2x2+2ax+a2+2a-3=0. 由已知可得,判别式Δ=24-16a-4a2>0. 从而x1+x2=-a,x1x2=.① 由于OA⊥OB,可得x1x2+y1y2=0,又y1=x1+a,y2=x2+a, 所以2x1x2+a(x1+x2)+a2=0.② 由①,②得a=1,,满足Δ>0,故a=-1. 点评:典型题,关于圆的考查,往往以这种“连环题”的形式出现,首先求标准方程,往往不难。而涉及在直线与圆的位置关系,往往要利用韦达定理,实现“整体代换”。本题中利用OA⊥OB,可得x1x2+y1y2=0,从而将两根之积代入,方便求解。 |