解:(Ⅰ)由题知圆圆心为,半径为,设动圆的圆心为 半径为,,由,可知点在圆内,所以点的轨迹是以为焦点 的椭圆,设椭圆的方程为,由,得, 故曲线的方程为 ………………………………4分 (Ⅱ)当时,由可得 当,时,直线的方程为,直线与曲线有且只有一个交点 当,时,直线的方程为,直线与曲线有且只有一个交点 当时得,代入,消去整理得: --------------------------------① …………6分 由点为曲线上一点,故.即 于是方程①可以化简为: 解得.将代入得,说明直线与曲线有且只有一个交点. 综上,不论点在何位置,直线:与曲线恒有且只有一个交点,交点即 …………………………………………8分 (Ⅲ)更一般的结论:对椭圆,过其上任意一点的切线方程为; 在双曲线中的类似的结论是:过双曲线 上任意一点的切线方程为:.…………………………………12分 |