(Ⅰ)依题意,圆O的半径r等于原点O到直线x-y=4的距离, 即r==2,∴圆O的方程为x2+y2=4. (Ⅱ)不妨设A(x1,0),B(x2,0),x1<x2,令y=0得x2=4, ∴A(-2,0),B(2,0), 设P(x,y),由|PA|、|PO|、|PB|成等比数列,即:×=x2+y2, 化简得:x2-y2=2, •=(-2-x,-y)•(2-x,-y)=x2-4+y2, ∵x2-y2=2 ∴•=2y2-2, 由于点P在圆O内,故,由此得y2<1. ∴-2≤•=2y2-2<0, ∴•的取值范围是[-2,0); (Ⅲ)设DE的中点为N,则•=2, ∴=λ+λ+(1-2λ),λ∈R, =2λ(-)+ ∴-=2λ(-), ∴=2λ, ∴F,N,M三点共线, 即点M的轨迹是△DEF的中线FN所在的直线, 故点M的轨迹一定经过△DEF的重心. |