已知定点F(0,1)和定直线l:y=-1,过定点F与定直线l相切的动圆的圆心为点C(1)求动圆的圆心C的轨迹W的方程;(2)设点P是W上的一动点,求PF的中点M

已知定点F(0,1)和定直线l:y=-1,过定点F与定直线l相切的动圆的圆心为点C(1)求动圆的圆心C的轨迹W的方程;(2)设点P是W上的一动点,求PF的中点M

题型:不详难度:来源:
已知定点F(0,1)和定直线l:y=-1,过定点F与定直线l相切的动圆的圆心为点C
(1)求动圆的圆心C的轨迹W的方程;
(2)设点P是W上的一动点,求PF的中点M的轨迹方程.
答案
(1)设C(x,y),因为圆C定点F与定直线l相切,所以|CF|=|x+1|,即圆心C到定点和直线y=-1的距离相等.
轨迹抛物线的定义可知,C的轨迹是以F为焦点,y=-1为准线的抛物线,设抛物线方程为x2=2py,其中
p
2
=1

所以p=2,即抛物线方程为x2=4y.
(2)设PF的中点M(x,y),P(x1,y1),则由中点坐标公式可得





x=
x1
2
y=
y1+1
2
,即





x1=2x
y1=2y-1

代入抛物线方程x2=4y,
得(2x)2=4(2y-1),即x2=2y-1,
所以PF的中点M的轨迹方程为x2=2y-1.
举一反三
已知圆C的圆心坐标为(2,-3),一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上,则圆C的标准方程为______.
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与直线x+2y-1=0切于点A(1,0),且经过点B(2,-3)的圆的方程为______.
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已知A(-1,4),B(5,-4),则以AB为直径的圆标准方程是______.
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已知圆C上一点A(2,3),直线2x+y=0平分圆C,且圆C与直线x-y+1=0相交的弦长为2


2
,求圆C的方程.
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圆x2+y2-2x+6y+1=0的半径为(  )
A.1B.3C.6D.9
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