若直线l：ax+by=1（a＞0，b＞0）过点A（b，a），则以坐标原点O为圆心，OA长为半径的圆的面积取最小值时直线l的方程为______．

题型：不详难度：来源：

若直线l：ax+by=1（a＞0，b＞0）过点A（b，a），则以坐标原点O为圆心，OA长为半径的圆的面积取最小值时直线l的方程为______．

答案

∵直线l：ax+by=1（a＞0，b＞0）过点A（b，a），∴ab+ba=1，即ab=

1

2

．
由于半径OA=r，要使OA长为半径的圆的面积取最小，只要r²=OA²=a²+b² 最小．
由基本不等式可得 a²+b²≥2ab=1，当且仅当a=b=

2

2

时，取等号，故r²的最小值为1，
故以坐标原点O为圆心，OA长为半径的圆的面积取最小值时直线l的方程为

2

2

x+

2

2

y=1，
即

2

x+

2

y=2，
故答案为

2

x+

2

y=2．