（1）求离心率为53，且与双曲线x24-y2=1有公共焦点的椭圆的标准方程．（2）求一条渐近线为2x+3y=0且焦点到渐近线的距离为2的双曲线的标准方程．

题型：不详难度：来源：

（1）求离心率为

，且与双曲线

-y2=1有公共焦点的椭圆的标准方程．
（2）求一条渐近线为2x+3y=0且焦点到渐近线的距离为2的双曲线的标准方程．

答案

（1）∵椭圆与双曲线

-y2=1有公共焦点，且双曲线的焦点为（±

，0），
∴设椭圆的方程为

=1(a＞b＞0)，满足a²-b²=5…①
又∵椭圆离心率为

，∴

…②
联解①②，得

a=3

b=2

，故所求椭圆的方程为

=1
（2）∵双曲线的一条渐近线方程为2x+3y=0，
∴设其标准方程为4x²-9y²=λ，
化成标准方程为

=1（λ＞0）或

=1（λ＜0）
∵双曲线焦点到渐近线的距离为2，可得b=2
∴当λ＞0时，

=4可得λ=36，双曲线标准方程为

=1；
当λ＜0时，-

=4可得λ=-16，双曲线标准方程为

=1
综上所述，双曲线的标准方程为

=1或

举一反三

已知椭圆离心率为

，一个短轴顶点是（0，-8），则此椭圆的标准方程为______．

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已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆的离心率是

，椭圆上任意一点到两个焦点距离之和为4．
（1）求椭圆标准方程；
（2）设椭圆长轴的左端点为A，P是椭圆上且位于第一象限的任意一点，AB∥OP，点B在椭圆上，R为直线AB与y轴的交点，证明：

•

2．

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已知椭圆E：

=1(a＞b＞0)的长轴长是短轴长的两倍，且过点C（2，1），点C关于原点O的对称点为点D．
（I）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）点P在椭圆E上，直线CP和DP的斜率都存在且不为0，试问直线CP和DP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由：
（Ⅲ）平行于CD的直线l交椭圆E于M，N两点，求△CMN面积的最大值，并求此时直线l的方程．

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已知，椭圆C以双曲线x2-

=1的焦点为顶点，以双曲线的顶点为焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于M、N两点（M、N不是左右顶点），且以线段MN为直径的圆过点A（2，0），求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

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已知椭圆C的方程为：

=1 (a＞0)，其焦点在x轴上，离心率e=

．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设动点P（x₀，y₀）满足

，其中M，N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为-

，求证：x02+2

为定值．
（3）在（2）的条件下，问：是否存在两个定点A，B，使得|PA|+|PB|为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．

题型：泉州模拟难度：| 查看答案