已知椭圆中心在坐标原点O，右准线方程为x=1，过左焦点作倾斜角为的直线l与椭圆交于A，B两点。 　　（1）设点M是线段AB的中点，直线OM与AB夹角正切值是2，

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已知椭圆中心在坐标原点O，右准线方程为x=1，过左焦点作倾斜角为的直线l与椭圆交于A，B两点。 　　（1）设点M是线段AB的中点，直线OM与AB夹角正切值是2，求椭圆方程；　　
（2）当A，B分别位于第一、第三象限时，求椭圆的离心率的范围。

答案

解：（1）设椭圆的方程为，由右准线得，　　
所以，　　
所以椭圆方程为， 　　
过倾斜角为的直线l的方程为y=x+c，　　
代入椭圆方程得，　　
设，则是上式的两根，　　
所以，　　
，　　
所以，
所以，　　
由OM与AB夹角正切为2，　　
所以，解得或c=-2（舍），　　
所以椭圆的方程为；
（2）若A，B在一三象限，则，　　
所以，　　
因为，所以，　　
所以即，　　
所以。