设椭圆的对称中心为坐标原点,其中一个顶点为A(0,2),右焦点F与点B(,)的距离为2。(1)求椭圆的方程;(2)是否存在经过点(0,-3)的直线l,使直线l与
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设椭圆的对称中心为坐标原点,其中一个顶点为A(0,2),右焦点F与点B(,)的距离为2。(1)求椭圆的方程;(2)是否存在经过点(0,-3)的直线l,使直线l与
题型:0127 模拟题
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设椭圆的对称中心为坐标原点,其中一个顶点为A(0,2),右焦点F与点B(
,
)的距离为2。
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在经过点(0,-3)的直线l,使直线l与椭圆相交于不同的两点M,N满足
?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由。
答案
解:(1)依题意,设椭圆方程为
则其右焦点坐标为
由
得
即
故
又∵
∴
从而可得椭圆方程为
。
(2)由题意可设直线l的方程为
由
知点A在线段的垂直平分线上
由
消去y得
即可得方程
(*)
当方程(*)的
即
时方程(*)有两个不相等的实数根
设
,
线段
的中点
则
是方程(*)的两个不等的实根,故有
从而有
于是,可得线段
的中点P的坐标为
又由于
,因此直线
的斜率为
由
得
即
解得
∴
∴综上可知存在直线l:
满足题意。
举一反三
已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的
倍且经过点 (2,
)。
(1)求椭圆C的方程;
(2)过圆O:x
2
+y
2
=
上的任意一点作圆的一条切线l与椭圆C交于A、B两点,求证:
为定值。
题型:安徽省模拟题
难度:
|
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已知A(1,1)是椭圆
(a>b>0)上一点,F
1
、F
2
是椭圆的两焦点,且满足|AF
1
|+|AF
2
|=4。
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设点C、D是椭圆上两点,直线AC、AD的倾斜角互补,求直线CD的斜率。
题型:北京模拟题
难度:
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椭圆
与直线x+y-1=0相交于A、B两点,且OA⊥OB(O为坐标原点),
(1)求椭圆E与圆x
2
+y
2
=1的交点坐标;
(2)当|AB|=
时,求椭圆E的方程。
题型:模拟题
难度:
|
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已知椭圆C:
(a>b>0)的离心率是e=
,若点P(0,
)到椭圆C上的点的最远距离为
。
(1)求椭圆C的方程;
(2)过椭圆C的左焦点F
1
作直线l交椭圆C于点A,B,且|AB|等于椭圆的短轴长,求直线l的方程。
题型:山东省模拟题
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已知F
1
、F
2
分别是椭圆
(a>b>0)的左、右焦点,已知点N(-
,0)满足
且
,设A、B是上半椭圆上满足
的两点。
(1)求此椭圆的方程;
(2)若λ=
,求直线AB的斜率。
题型:湖北省模拟题
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