已知焦点在x轴上的椭圆C过点(0,1),且离心率为,Q为椭圆C的左顶点.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)已知过点的直线l与椭圆C交于A,B两点.(ⅰ)若直线l垂

已知焦点在x轴上的椭圆C过点(0,1),且离心率为,Q为椭圆C的左顶点.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)已知过点的直线l与椭圆C交于A,B两点.(ⅰ)若直线l垂

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已知焦点在x轴上的椭圆C过点(0,1),且离心率为,Q为椭圆C的左顶点.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)已知过点的直线l与椭圆C交于A,B两点.
(ⅰ)若直线l垂直于x轴,求∠AQB的大小;
(ⅱ)若直线l与x轴不垂直,是否存在直线l使得△QAB为等腰三角形?如果存在,求出直线l的方程;如果不存在,请说明理由.
答案
解:(Ⅰ)设椭圆C的标准方程为(a>b>0),且a2=b2+c2
由题意,椭圆C过点(0,1),离心率为
可知:b=1,=
所以a2=4.所以,椭圆C的标准方程为
(Ⅱ)由(Ⅰ)得Q(﹣2,0).
设A(x1,y1),B(x2,y2).
(i)当直线l垂直于x轴时,直线l的方程为x=﹣
,解得
即A(﹣),B(﹣,﹣)(不妨设点A在x轴上方).
则直线AQ的斜率1,直线BQ的斜率﹣1.
因为直线AQ的斜率与直线BQ的斜率为﹣1,
所以AQ⊥BQ,所以∠AQB=
(ii)当直线l与x轴不垂直时,
由题意可设直线AB的方程为y=k(x+)(k≠0).
消去y得:
(25+100k2)x2+240k2x+144k2﹣100=0.
因为点A(﹣,0)在椭圆C的内部,
显然△>0.         
因为 =(x1+2,y1),=(x2+2,y2),y1=k(x1+),y2=k(x2+),
所以=(x1+2)(x2+2)+y1y2=(1+k2)x1x2+(2+)(x1+x2)+4+
=(1+k2)×+(2+)()+4+=0
所以
所以△QAB为直角三角形.
假设存在直线l使得△QAB为等腰三角形,则|QA|=|QB|.
取AB的中点M,连接QM,则QM⊥AB.
记点(﹣,0)为N.
另一方面,点M的横坐标
所以点M的纵坐标
所以=()()=≠0
所以 不垂直,矛盾.
所以当直线l与x轴不垂直时,不存在直线l使得△QAB为等腰三角形.
举一反三
已知椭圆,点P()在椭圆上。
(1)求椭圆的离心率;
(2)设A为椭圆的左顶点,O为坐标原点.若点Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|,求直线OQ的斜率的值。
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如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,线段OF1,OF2的中点分别为B1,B2,且△AB1B2是面积为4的直角三角形。
(1)求该椭圆的离心率和标准方程;
(2)过B1作直线交椭圆于P,Q两点,使PB2⊥QB2,求△PB2Q的面积。
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已知曲线C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R)。
(1)若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆,求m的取值范围;
(2)设m=4,曲线c与y轴的交点为A,B(点A位于点B的上方),直线y=kx+4与曲线c交于不同的两点M、N,直线y=1与直线BM交于点G,求证:A,G,N三点共线。
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已知椭圆的两个焦点分别是,离心率
(1)求椭圆的方程;
(2)一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同的两点M,N,且线段MN中点的横坐标为,求直线l的倾斜角的范围.
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如图,椭圆E:的左焦点为F1,右焦点为F2,离心率e=,过F1的直线交椭圆于A、B两点,且△ABF2的周长为8。
(1)求椭圆E的方程。
(2)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相较于点Q,试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
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