圆有如下两个性质:(1)圆上任意一点与任意不过该点的圆的直径的两端点的连线的斜率(若斜率存在)之积为定值-1;(2)圆的任意一条弦的中点与圆心的连线的斜率(若斜
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圆有如下两个性质:(1)圆上任意一点与任意不过该点的圆的直径的两端点的连线的斜率(若斜率存在)之积为定值-1;(2)圆的任意一条弦的中点与圆心的连线的斜率(若斜
题型:湖北省模拟题
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圆有如下两个性质:(1)圆上任意一点与任意不过该点的圆的直径的两端点的连线的斜率(若斜率存在)之积为定值-1;(2)圆的任意一条弦的中点与圆心的连线的斜率(若斜率存在)与该弦的斜率(若斜率存在)之积为定值-1。
(Ⅰ)试探究:椭圆
上的任意一点与任意过椭圆中心但不过该点的弦的端点连线的斜率(若斜率存在)之积是否为定值,若是请求出该定值;
(Ⅱ)写出类比圆的性质(2)得到的椭圆
的类似性质,并证明之。
答案
解:(Ⅰ)设
为椭圆上的任意一点,AB为椭圆的任意一条过中心的弦,且
,则
,
则:
,
,
两式作差得:
;
,
,
则
,
则椭圆上的任意一点与任意过椭圆中心的弦的端点连线的斜率之积为定值
。
(Ⅱ)椭圆
的任意一条弦的中点与椭圆中心的连线的斜率(若斜率存在)与该弦的(若斜率存在)之积为定值
。
证明:设AB为椭圆的任意一条不平行与坐标轴的弦,
,AB中点
,椭圆中心O,AB的方程为
,
联立
并整理得:
,
由韦达定理:
,
则:
,
,
。
举一反三
若F
1
、F
2
分别是椭圆
在左、右焦点,P是该椭圆上的一个动点,且
.
(1)求出这个椭圆的方程;
(2)是否存在过定点N(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,使∠AOB=90°(其中O为坐标原点)?若存在,求出直线l的斜率k,若不存在,请说明理由.
题型:河北省模拟题
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|
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在平面直角坐标系xOy中,经过点
且斜率为k的直线l与椭圆
有两个不同的交点P和Q.
(I)求k的取值范围;
(II)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A,B,是否存在常数k,使得向量
与
共线?如果存在,求k值;如果不存在,请说明理由.
题型:福建省月考题
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在直角坐标系xOy中,椭圆C
1
:
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F
1
,F
2
.F
2
也是抛物线C
2
:y
2
=4x的焦点,点M为C
1
与C
2
在第一象限的交点,且|MF
2
|=
.
(Ⅰ)求C
1
的方程;
(Ⅱ)平面上的点N满足
,直线l∥MN,且与C
1
交于A,B两点,若
,求直线l的方程.
题型:云南省模拟题
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已知椭圆C:
的左焦点为F(﹣1,0),离心率为
,过点F的直线l与椭圆C交于A、B两点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设过点F不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A、B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点G,求点G横坐标的取值范围.
题型:北京月考题
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如图,已知点B是椭圆
(a>b>0)的短轴位于x轴下方的端点,过B作斜率为1的直线交椭圆于点M,点P在y轴上,且PM∥x轴,
·
=9,若点P的坐标为(0,t),则t的取值范围是
[ ]
A.0<t<3
B.0<t≤3
C.
D.
题型:湖北省期末题
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