已知△ABC的周长为12,顶点A,B的坐标分别为(-2,0),(2,0),C为动点.(1)求动点C的轨迹E的方程;(2)过原点作两条关于y轴对称的直线(不与坐标
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已知△ABC的周长为12,顶点A,B的坐标分别为(-2,0),(2,0),C为动点.(1)求动点C的轨迹E的方程;(2)过原点作两条关于y轴对称的直线(不与坐标
题型:不详
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已知△ABC的周长为12,顶点A,B的坐标分别为(-2,0),(2,0),C为动点.
(1)求动点C的轨迹E的方程;
(2)过原点作两条关于y轴对称的直线(不与坐标轴重合),使它们分别与曲线E交于两点,求四点所对应的四边形的面积的最大值.
答案
(1)
+
=1(x≠±4)
(2)16
解析
(1)由题意知|CA|+|CB|=12-4=8>|AB|,所以C的轨迹E为椭圆的一部分.
由a=4,c=2,可得b
2
=12.
故曲线E的方程为
+
=1(x≠±4).
(2)设两直线的方程为y=kx与y=-kx(k>0).记y=kx与曲线E在第一象限内的交点为(x
0
,y
0
),由
,可得x
0
2
=
.
结合图形的对称性可知:四交点对应的四边形为矩形,且其面积S=2x
0
·2y
0
=4kx
0
2
=
.
因为k>0,所以S=
≤
=16
(当且仅当k=
时取等号).故四边形面积的最大值为16
.
举一反三
已知圆C:(x-4)
2
+(y-m)
2
=16(m∈N
*
),直线4x-3y-16=0过椭圆E:
+
=1(a>b>0)的右焦点,且被圆C所截得的弦长为
,点A(3,1)在椭圆E上.
(1)求m的值及椭圆E的方程;
(2)设Q为椭圆E上的一个动点,求
·
的取值范围.
题型:不详
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椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,两焦点F
1
,F
2
之间的距离为2
,椭圆上第一象限内的点P满足PF
1
⊥PF
2
,且△PF
1
F
2
的面积为1.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若椭圆C的右顶点为A,直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M,N,且满足AM⊥AN.求证:直线l过定点,并求出定点的坐标.
题型:不详
难度:
|
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若直线mx+ny=4与⊙O:x
2
+y
2
=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆
+
=1的交点个数是( )
A.至多为1
B.2
C.1
D.0
题型:不详
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|
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已知椭圆C的两焦点分别为
,长轴长为6,
⑴求椭圆C的标准方程;
⑵已知过点(0,2)且斜率为1的直线交椭圆C于A 、B两点,求线段AB的长度。.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分12分)如图,椭圆
上的点M与椭圆右焦点
的连线
与x轴垂直,且OM(O是坐标原点)与椭圆长轴和短轴端点的连线AB平行.
(1)求椭圆的离心率;
(2)过
且与AB垂直的直线交椭圆于P、Q,若
的面积是
,求此时椭圆的方程.
题型:不详
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