(1)∵c=4m,椭圆离心率e==,∴a=5m.∴b=3m. ∴椭圆C的标准方程为=1. (2)在椭圆方程=1中,令x=4m,解得y=±. ∵当θ=90°时,直线MN⊥x轴,此时FM=FN=,∴=. ∵=,∴=,解得m=. (3)的值与θ的大小无关. 证明如下:(证法1)设点M、N到右准线的距离分别为d1、d2. ∵=,=,∴=. 又由图可知,MFcosθ+d1=-c=, ∴d1=,即=. 同理,==(-cosθ+1). ∴=+(-cosθ+1)=. ∴=·=.显然该值与θ的大小无关. (证法2)当直线MN的斜率不存在时,由(2)知,的值与θ的大小无关. 当直线MN的斜率存在时,设直线MN的方程为y=k(x-4m), 代入椭圆方程=1,得(25k2+9)m2x2-200m3k2x+25m4(16k2-9)=0. 设点M(x1,y1)、N(x2,y2),∵Δ>0恒成立,∴x1+x2=,x1·x2=. ∵=,=,∴MF=5m-x1,NF=5m-x2. ∴=. 显然该值与θ的大小无关. |