已知椭圆的中心为坐标原点,短轴长为2,一条准线的方程为l:x=2.(1)求椭圆的标准方程.(2)设O为坐标原点,F是椭圆的右焦点,点M是直线l上的动点,过点F作
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已知椭圆的中心为坐标原点,短轴长为2,一条准线的方程为l:x=2.(1)求椭圆的标准方程.(2)设O为坐标原点,F是椭圆的右焦点,点M是直线l上的动点,过点F作
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已知椭圆的中心为坐标原点,短轴长为2,一条准线的方程为l:x=2.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)设O为坐标原点,F是椭圆的右焦点,点M是直线l上的动点,过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,求证:线段ON的长为定值.
答案
(1)
+y
2
=1 (2)见解析
解析
(1)∵椭圆C的短轴长为2,椭圆C的一条准线为l:x=2,
∴不妨设椭圆C的方程为
+y
2
=1.
∴
=
=2,即c=1.
∴椭圆C的方程为
+y
2
=1.
(2)F(1,0),右准线为l:x=2.设N(x
0
,y
0
),
则直线FN的斜率为k
FN
=
,直线ON的斜率为k
ON
=
.
∵FN⊥OM,∴直线OM的斜率为k
OM
=-
.
∴直线OM的方程为y=-
x,
点M的坐标为M(2,-
).
∴直线MN的斜率为k
MN
=
.
∵MN⊥ON,∴k
MN
k
ON
=-1.
∴
·
=-1.
∴
+2(x
0
-1)+x
0
(x
0
-2)=0,即
+
=2.
∴ON=
为定值.
举一反三
已知线段AB的两个端点A,B分别在x轴、y轴上滑动,|AB|=3,点M满足2
=
.
(1)求动点M的轨迹E的方程.
(2)若曲线E的所有弦都不能被直线l:y=k(x-1)垂直平分,求实数k的取值范围.
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已知以F
1
(-2,0),F
2
(2,0)为焦点的椭圆与直线x+
y+4=0有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为( )
A.3
B.2
C.2
D.4
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设F
1
,F
2
为椭圆
+y
2
=1的左、右焦点,过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P,Q两点,当四边形PF
1
QF
2
的面积最大时,
·
的值等于( )
A.0
B.2
C.4
D.-2
题型:不详
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已知任意k∈R,直线y-kx-1=0与椭圆
+
=1恒有公共点,则实数m的取值范围是( )
A.(0,1)
B.(0,5)
C.[1,5)∪(5,+∞)
D.[1,5)
题型:不详
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斜率为1的直线l与椭圆
+y
2
=1交于不同两点A,B,则|AB|的最大值为( )
A.2
B.
C.
D.
题型:不详
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|
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