试题分析:(1)求椭圆 的方程,由椭圆 的离心率为 ,得 , ,由 得, ,得得 ,即 ,由 的面积为3,得 ,由于 ,可得 ,即 ,可求出 ,从而可得 ,即得椭圆 的方程;(2)这是探索性命题,由于探索直线AM,BN的交点能否在一条垂直于 轴的定直线上,可有特例求出定直线,然后验证一般情况,故当直线 的斜率不存在时,直线 : ,直线 与椭圆C的交点坐标 , ,写出直线 的方程,解交点坐标为 ,它在垂直于 轴的直线 上,然后验证当直线 的斜率存在时,交点必在直线 上即可,因此设直线 ,代入椭圆C的方程 ,设 ,利用根与系数关系,得关系式,再写出直线 的方程,消去 ,解方程得 即可. 试题解析:(1)设 ,由于 ,所以 , 根据 ,得 ,即 , 因为 的面积为3, ,所以 , 所以有 ,解得 ,所以 , 所以椭圆才C的方程为 。 5分 (2)由(1)知 。 ①当直线 的斜率不存在时,直线 : ,直线 与椭圆C的交点坐标 , ,此时直线 ,联立两直线方程,解得两直线的交点坐标(4,3)。它在垂直于 轴的直线 上。 7分 ②当直线 的斜率存在时, 设直线 ,代入椭圆C的方程 ,整理得 ,设直线 与椭圆C的交点 ,则 。 直线AM的方程为 ,即 , 直线BN的方程为 ,即![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191023/20191023144551-67591.png) 由直线AM与直线BN的方程消去 ,得
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![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191023/20191023144552-93275.png) 所以直线AM与直线BN的交点在直线 上。 12分 综上所述,直线AM,BN的交点必在一条垂直于 轴的定直线上,这条直线的方程是 . 13分 |