(本小题12分)椭圆:的两个焦点为,点在椭圆上,且.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若直线过圆的圆心,交椭圆于两点,且关于点对称,求直线的方程。

(本小题12分)椭圆:的两个焦点为,点在椭圆上,且.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若直线过圆的圆心,交椭圆于两点,且关于点对称,求直线的方程。

题型:不详难度:来源:
(本小题12分)椭圆:的两个焦点为,点在椭圆上,且.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线过圆的圆心,交椭圆两点,且关于点对称,求直线的方程。
答案
(1)(2)
解析

试题分析:
(Ⅰ)依题可设椭圆方程为,
因为点在椭圆上,所以 ,则    ……2分
中,, 故,
从而
所以椭圆的方程为 .                                   ……4分
(Ⅱ)(解法一)设的坐标分别为
已知圆的方程为,所以圆心的坐标为.
从而可设直线的方程为,
代入椭圆的方程得.……8分
因为关于点对称. 所以   
解得,所以直线的方程为 即
(经检验,所求直线方程符合题意)                                ……12分
(解法二)已知圆的方程为,故圆心.
的坐标分别为
由题意 ①
  ②
由①-②得:       ③
因为关于点对称,所以
代入③得, 即直线的斜率,              ……10分
所以直线的方程为,即
(经检验,所求直线方程符合题意.)                           ……12分
点评:直线与圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线等)的位置关系是每年高考的重点也是难点,学生在复习备考时,要了解直线与圆锥曲线的位置关系问题的解决方法,尤其是通性通法和常用技巧,如设而不求、点差法等,另外还要注意计算能力的培养与训练,养成良好的运算习惯.
举一反三
直线被椭圆所截得的弦的中点坐标是(   )
A.(, B.(, ) C.(,D.(, )

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(本小题满分14分)如图,椭圆的左焦点为,右焦点为,离心率.过的直线交椭圆于两点,且△的周长为

(Ⅰ)求椭圆的方程.
(Ⅱ)设动直线与椭圆有且只有一个公共点,且与直线相交于点.试探究:在坐标平面内是否存在定点,使得以为直径的圆恒过点?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.
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设椭圆的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为30.若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于10,则曲线的标准方程为(     )
A.B.C.D.

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设点是曲线上的点,,则(   )
A.B.
C.D.

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已知椭圆的左顶点为,上顶点为,右焦点为.设线段的中点为,若,则该椭圆离心率的取值范围为           .
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